Am 21.05.2024 um 22:15 schrieb Moebius:

> Was besagt denn "ℕ = { 1, 2, 3, ...}" (nach allgemein üblichem
> Verständnis im Kontext der Mathematik) anderes als 1 ∈ ℕ und An(n ∈ ℕ ⇒
> (n + 1) ∈ ℕ)

und

> | Erfüllt M (4.3a) und (4.3b), so gilt ℕ ⊆ M . (4.3)
> | 1 ∈ M (4.3a)
> | n ∈ M ⇒ (n + 1) ∈ M (4.3b)

? :-P

Am 21.05.2024 um 23:49 schrieb Moebius:
> Am 21.05.2024 um 22:15 schrieb Moebius:
>
>> Was besagt denn "ℕ = { 1, 2, 3, ...}" (nach allgemein üblichem
>> Verständnis im Kontext der Mathematik) anderes als 1 ∈ ℕ und An(n ∈ ℕ
>> ⇒ (n + 1) ∈ ℕ)
>
> und
>
> > | Erfüllt M (4.3a) und (4.3b), so gilt ℕ ⊆ M . (4.3)
> > |     1 ∈ M                                     (4.3a)
> > |     n ∈ M  ⇒ (n + 1) ∈ M                     (4.3b)
>
> ? :-P

In der Mückenmatik "beschreibt" offenbar das Induktionsaxiom ALLEIN
schon die Menge IN. <facepalm>

"Zwei Dinge sind unendlich, das Universum und die menschliche Dummheit,
aber bei dem Universum bin ich mir noch nicht ganz sicher. Wenn die
Menschen nur über das sprächen, was sie begreifen, dann würde es sehr
still auf der Welt sein." (Albert Einstein)

Am 21.05.2024 um 23:02 schrieb Tom Bola:
>
> ... die Aaasstückchen gierig auffrisst, ...
>

Zweimal 'n' vergessen: Ananasstückchen

Gruß,
RR

P.S. Danke für Deine Vervollständigung des Halmos-Zitats im Thread
"Einführung in die Mückenmatik III (die größte natürliche Zahl)",
01.05.2024, 18:08.
Da sieht man deutlich, was Halmos unter "natural numbers" versteht, und
dass er weder IN_0 noch IN meint:
"rigorous counterpart of the intuitive description according to which
they consist of 0, 1, 2, 3, 'and so on'."

Am 21.05.2024 um 23:49 schrieb Moebius:
> Am 21.05.2024 um 22:15 schrieb Moebius:
>
>> Was besagt denn "ℕ = { 1, 2, 3, ...}" (nach allgemein üblichem
>> Verständnis im Kontext der Mathematik) anderes als 1 ∈ ℕ und An(n ∈ ℕ
>> ⇒ (n + 1) ∈ ℕ)
>
> und
>
> > | Erfüllt M (4.3a) und (4.3b), so gilt ℕ ⊆ M . (4.3)
> > |     1 ∈ M                                     (4.3a)
> > |     n ∈ M  ⇒ (n + 1) ∈ M                     (4.3b)
>
> ? :-P

Ich kann/will das gerne noch etwas näher erläutern.

Ein Ausdruck der Form

{a_1}
oder
{a_1, a_2}
oder
{a_1. a_2, a_3} ,
etc.

wird im Angelsächsischen als "set builder notation" bezeichnet.

In jedem Fall gilt dann _per Konvention_ (bzw. Definition), dass z. B.

a_1 e {a_1},
a_1, a_2 e {a_1, a_2} ,
a_1, a_2, a_3 e {a_1. a_2, a_3} ,
etc.

ist.

Es gilt (im Einklang mit der oben erwähnten Definition) aber auch, dass

a_1, a_2, a_3 e {a_1. a_2, a_3, ...}

gilt.

Also in unserem Fall speziell, dass

1, 2, 3 e { 1, 2, 3, ...}

gilt.

Nachdem Mückenheim schon im Metatext zu seiner "Axiome" festgestellt
hat, dass IN = { 1, 2, 3, ...} ist, würde ihm wahrlich kein Zacken aus
der Krone brechen, wenn er freimütig zugestehen würde, dass zumindest

1 e IN

gilt. Dass der Mann d a s nicht kapiert, kann man nur als Geistesstörung
bezeichnen.

Wie aber soll man nun "2, 3, ..." auffassen? Nach der allgemein
geteilten Auffassung in der Mathematik besagt das ZUMINDEST, dass mit
jedem n e IN auch n + 1 e IN ist [darauf weist die Zeichenfolge "1" ->
"2" -> "3" -> "..." hin].

Eben mit 1 e IN auch 1 + 1 = 2 e IN und mit 2 auch 2 + 1 = 3 e IN usw.
(...).

Mit anderen Worte (in der formalen Sprache der Mathematik):

An(n e IN => n+1 e IN) .

Bzw. kurz auch:

n e IN => n+1 e IN.

Auch hier muss man sich die Frage stellen, warum dieses geisteskranke
Arschloch das nicht einfach als SIMPLE TATSACHE hinschreiben kann.

Mit den beiden Axiomen

1 e IN
und
n e IN => n+1 e IN

wäre aber IN natürlich noch nicht hinreichend charakterisiert.

Es wäre damit ja z. B.

omega e IN

und/oder

aleph_0

oder

oo e IN

etc. noch nicht ausgeschlossen.

Aus diesem Grund braucht es (mindestens) noch das Axiom, das IN als
MINIMALE "Nachfolgermenge" charakterisiert (dass II eine
"Nachfolgermenge ist, besagen ja schon die Axiome "1 e IN" und "n e IN
=> n+1 e IN").

Dieses Axiom ist auch als "Induktionsaxiom" bekannt, und lautet z. B,.:

| Erfüllt M (4.3a) und (4.3b), so gilt ℕ ⊆ M . (4.3)
| 1 ∈ M (4.3a)
| n ∈ M ⇒ (n + 1) ∈ M (4.3b)

Mit (4.1), (4.2) und (4.3) wird ziemlich präzise festgelegt, was wir
"anschaulich" mit "ℕ = { 1, 2, 3, ...}" meinen.

Nämlich: 1 ist ein Element von IN. Mit jedem n e IN ist auch n+1 e IN,
und ANDERE Elemente gibt es NICHT in IN.

Am 21.05.2024 um 23:49 schrieb Moebius:
> Am 21.05.2024 um 22:15 schrieb Moebius:
>
>> Was besagt denn "ℕ = { 1, 2, 3, ...}" (nach allgemein üblichem
Verständnis im Kontext der Mathematik) anderes als 1 ∈ ℕ und An(n ∈ ℕ ⇒
(n + 1) ∈ ℕ)
>
> und
>
> > | Erfüllt M (4.3a) und (4.3b), so gilt ℕ ⊆ M . (4.3)
> > | 1 ∈ M (4.3a)
> > | n ∈ M ⇒ (n + 1) ∈ M (4.3b)
>
> ? 😛

Ich kann/will das gerne noch etwas näher erläutern.

Ein Ausdruck der Form

{a_1}
oder
{a_1, a_2}
oder
{a_1. a_2, a_3} ,
etc.

wird im Angelsächsischen als "set builder notation" bezeichnet.

In jedem Fall gilt dann _per Konvention_ (bzw. Definition), dass z. B.

a_1 e {a_1},
a_1, a_2 e {a_1, a_2} ,
a_1, a_2, a_3 e {a_1. a_2, a_3} ,
etc.

ist.

Es gilt (im Einklang mit der oben erwähnten Definition) aber auch, dass

a_1, a_2, a_3 e {a_1. a_2, a_3, ...}

gilt.

Also in unserem Fall speziell, dass

1, 2, 3 e { 1, 2, 3, ...}

gilt.

Nachdem Mückenheim schon im Metatext zu seiner "Axiome" festgestellt
hat, dass IN = { 1, 2, 3, ...} ist, würde ihm wahrlich kein Zacken aus
der Krone brechen, wenn er freimütig zugestehen würde, dass zumindest

1 e IN

gilt. Dass der Mann d a s nicht kapiert, kann man nur als Geistesstörung
bezeichnen.

Wie aber soll man nun "2, 3, ..." auffassen? Nach der allgemein
geteilten Auffassung in der Mathematik besagt das ZUMINDEST, dass mit
jedem n e IN auch n + 1 e IN ist [darauf weist die Zeichenfolge "1" ->
"2" -> "3" -> "..." hin].

Eben mit 1 e IN auch 1 + 1 = 2 e IN und mit 2 auch 2 + 1 = 3 e IN usw.
(...).

Mit anderen Worten (in der formalen Sprache der Mathematik):

An(n e IN => n+1 e IN) .

Bzw. kurz auch:

n e IN => n+1 e IN.

Auch hier muss man sich die Frage stellen, warum dieses geisteskranke
Arschloch das nicht einfach als SIMPLE TATSACHE hinschreiben kann.

Mit den beiden Axiomen

1 e IN
und
n e IN => n+1 e IN

wäre aber IN natürlich noch nicht hinreichend charakterisiert.

Es wäre damit ja z. B.

omega e IN

und/oder

aleph_0 e IN

oder

oo e IN

etc. noch nicht ausgeschlossen.

Aus diesem Grund braucht es (mindestens) noch das Axiom, das IN als
MINIMALE "Nachfolgermenge" charakterisiert (dass IN eine
"Nachfolgermenge ist, besagen ja schon die Axiome "1 e IN" und "n e IN
=> n+1 e IN").

Dieses Axiom ist auch als "Induktionsaxiom" bekannt, und lautet z. B.:

| Erfüllt M (4.3a) und (4.3b), so gilt ℕ ⊆ M . (4.3)
| 1 ∈ M (4.3a)
| n ∈ M ⇒ (n + 1) ∈ M (4.3b)

Mit (4.1), (4.2) und (4.3) [und (4.3a) und (4.3b)] wird ziemlich präzise
festgelegt, was wir "anschaulich" mit "ℕ = { 1, 2, 3, ...}" meinen.

Nämlich: 1 ist ein Element von IN. Mit jedem n e IN ist auch n+1 e IN,
und ANDERE Elemente gibt es NICHT in IN.

Am 21.05.2024 um 23:49 schrieb Moebius:
> Am 21.05.2024 um 22:15 schrieb Moebius:
>
>> Was besagt denn "ℕ = { 1, 2, 3, ...}" (nach allgemein üblichem
Verständnis im Kontext der Mathematik) anderes als 1 ∈ ℕ und An(n ∈ ℕ ⇒
(n + 1) ∈ ℕ)
>
> und
>
> > | Erfüllt M (4.3a) und (4.3b), so gilt ℕ ⊆ M . (4.3)
> > | 1 ∈ M (4.3a)
> > | n ∈ M ⇒ (n + 1) ∈ M (4.3b)
>
> ? 😛

Ich kann/will das gerne noch etwas näher erläutern.

Ein Ausdruck der Form

{a_1}
oder
{a_1, a_2}
oder
{a_1. a_2, a_3} ,
etc.

wird im Angelsächsischen als "set builder notation" bezeichnet.

In jedem Fall gilt dann _per Konvention_ (bzw. Definition), dass z. B.

a_1 e {a_1},
a_1, a_2 e {a_1, a_2} ,
a_1, a_2, a_3 e {a_1. a_2, a_3} ,
etc.

ist.

Es gilt (im Einklang mit der oben erwähnten Definition) aber auch, dass

a_1, a_2, a_3 e {a_1. a_2, a_3, ...}

gilt.

Also in unserem Fall speziell, dass

1, 2, 3 e { 1, 2, 3, ...}

gilt.

Nachdem Mückenheim schon im Metatext zu seinen "Axiomen" festgestellt
hat, dass IN = { 1, 2, 3, ...} ist, würde ihm wahrlich kein Zacken aus
der Krone brechen, wenn er freimütig zugestehen würde, dass zumindest

1 e IN

gilt. Dass der Mann d a s nicht kapiert, kann man nur als Geistesstörung
bezeichnen.

Wie aber soll man nun "2, 3, ..." auffassen? Nach der allgemein
geteilten Auffassung in der Mathematik besagt das ZUMINDEST, dass mit
jedem n e IN auch n + 1 e IN ist [darauf weist die Zeichenfolge "1" ->
"2" -> "3" -> "..." hin].

Eben mit 1 e IN auch 1 + 1 = 2 e IN und mit 2 auch 2 + 1 = 3 e IN usw.
(...).

Mit anderen Worten (in der formalen Sprache der Mathematik):

An(n e IN => n+1 e IN) .

Bzw. kurz auch:

n e IN => n+1 e IN.

Auch hier muss man sich die Frage stellen, warum dieses geisteskranke
Arschloch das nicht einfach als SIMPLE TATSACHE hinschreiben kann.

Mit den beiden Axiomen

1 e IN
und
n e IN => n+1 e IN

wäre aber IN natürlich noch nicht hinreichend charakterisiert.

Es wäre damit ja z. B.

omega e IN

und/oder

aleph_0 e IN

oder

oo e IN

etc. noch nicht ausgeschlossen.

Aus diesem Grund braucht es (mindestens) noch das Axiom, das IN als
MINIMALE "Nachfolgermenge" charakterisiert (dass IN eine
"Nachfolgermenge ist, besagen ja schon die Axiome "1 e IN" und "n e IN
=> n+1 e IN").

Dieses Axiom ist auch als "Induktionsaxiom" bekannt, und lautet z. B.:

| Erfüllt M (4.3a) und (4.3b), so gilt ℕ ⊆ M . (4.3)
| 1 ∈ M (4.3a)
| n ∈ M ⇒ (n + 1) ∈ M (4.3b)

Mit (4.1), (4.2) und (4.3) [und (4.3a) und (4.3b)] wird ziemlich präzise
festgelegt, was wir "anschaulich" mit "ℕ = { 1, 2, 3, ...}" meinen.

Nämlich: 1 ist ein Element von IN. Mit jedem n e IN ist auch n+1 e IN,
und ANDERE Elemente gibt es NICHT in IN.

Am 22.05.2024 00:06:02 Rainer Rosenthal schrieb:
> Am 21.05.2024 um 23:02 schrieb Tom Bola:
>>
>> ... die Aaasstückchen gierig auffrisst, ...
>>
>
> Zweimal 'n' vergessen: Ananasstückchen

Wirklich! Wie dem auch sei, auch Ananas kann verfaulen ;)
> Gruß,
> RR
>
> P.S. Danke für Deine Vervollständigung des Halmos-Zitats im Thread
> "Einführung in die Mückenmatik III (die größte natürliche Zahl)",
> 01.05.2024, 18:08.

Gern.

> Da sieht man deutlich, was Halmos unter "natural numbers" versteht, und
> dass er weder IN_0 noch IN meint:
> "rigorous counterpart of the intuitive description according to which
> they consist of 0, 1, 2, 3, 'and so on'."

Da ist die Mehrdeutigkeit faktisch einfach drin, und zwar unabhängig davon,
was der einzelne (Lehrbuch-) Autor als "wichtiger" ansieht, deshalb sollte
er alles davon in seinen Texten genau bei der Einführung solcher Symbole
klar festhalten - in diesem Fall mindestens die "Unterschiede" bei Anwendung
von Arithmetik. Und auch historisch war "IN" jedenfalls nicht schon immer
das, was erst heute (wie w) eine transfinite Ordinalzahl genannt wird... ;)

Am 2024-05-22 um 02:00 schrieb Tom Bola:
> klar festhalten - in diesem Fall mindestens die "Unterschiede" bei Anwendung
> von Arithmetik. Und auch historisch war "IN" jedenfalls nicht schon immer
> das, was erst heute (wie w) eine transfinite Ordinalzahl genannt wird... 😉

äehm, ja...
das aritmetische Plussign: + kann aber auch als in einer Reihenschaltung
und in der Logik eine AND/UND Verknöpfung (äem.. Verknüpfung) sein. Und
Verknüpfungen an für sich, kann man ja nur in Realationen setzen und/aber
nur betrachten.

Jens

Am 21.05.2024 um 22:29 schrieb Moebius:

>> Stefan Schmitz schrieb:
>
>>>> "Die Menge der natürlichen Zahlen ℕ = { 1, 2, 3, ...} wird durch die
>>>>  folgenden Axiome definiert:
>>>>
>>>>       1 ∈ M                                       (4.1)
>>>>       n ∈ M  ⇒ (n + 1) ∈ M                       (4.2)
>>>>       Erfüllt M (4.1) und (4.2), so gilt ℕ ⊆ M .  (4.3)"
>>>
>>> (4.2) soll ja jetzt doch nicht gelten.
>
> @SS: (4.2) gilt ja auch im Kontext der ML nicht. Überleg' Dir nochmal
> was (4.2) eigentlich besagt... (und bedenke, dass 1 + 1 !e {1} ist).
>
> Kurz: "Entweder besagen diese "Axiome", dass _alle_ Mengen M die Zahl 1
> enthalten und mit n auch die Zahl n + 1; oder aber 4.1 und 4.2 sind gar
> keine Axiome, sondern lediglich die "Bedingungen" für 4.3."

Was ich damit sagen will: WM kann Dir (SS) ins Gesicht lachen und (mit
Recht) feststellen, dass er NIE GESAGT/GESCHRIEBEN hätte, dass

n e IN => n + 1 e IN

gilt. (Das hat unser Mückenmann gefickt eingeschädelt.)

Am 22.05.2024 um 11:44 schrieb Moebius:
> Am 21.05.2024 um 22:29 schrieb Moebius:
>
>>> Stefan Schmitz schrieb:
>>
>>>>> "Die Menge der natürlichen Zahlen ℕ = { 1, 2, 3, ...} wird durch die
>>>>>  folgenden Axiome definiert:
>>>>>
>>>>>       1 ∈ M                                       (4.1)
>>>>>       n ∈ M  ⇒ (n + 1) ∈ M                       (4.2)
>>>>>       Erfüllt M (4.1) und (4.2), so gilt ℕ ⊆ M .  (4.3)"
>>>>
>>>> (4.2) soll ja jetzt doch nicht gelten.
>>
>> @SS: (4.2) gilt ja auch im Kontext der ML nicht. Überleg' Dir nochmal
>> was (4.2) eigentlich besagt... (und bedenke, dass 1 + 1 !e {1} ist).
>>
>> Kurz: "Entweder besagen diese "Axiome", dass _alle_ Mengen M die Zahl
>> 1 enthalten und mit n auch die Zahl n + 1; oder aber 4.1 und 4.2 sind
>> gar keine Axiome, sondern lediglich die "Bedingungen" für 4.3."

Dass (4.1) und (4.2) lediglich "Bedingungen" für das Axiom (4.3) sind,
ersieht man aus der Formulierung von (4.3): "Erfüllt M (4.1) und (4.2),
so ..."

Mückenheim hat hier wohl beim Abschreiben aus einem Skriptum/Buch wohl
etwas falsch verstanden/durcheinander gebracht.

Man erkennt das leicht, wenn man die Zeilen seines "Systems" vertauscht
und die Bezeichnungen leicht anpasst:

| Erfüllt M (*) und (**), so gilt ℕ ⊆ M.
| 1 ∈ M (*)
| n ∈ M ⇒ (n + 1) ∈ M (**)

> Was ich damit sagen will: WM kann Dir (SS) ins Gesicht lachen und (mit
> Recht) feststellen, dass er NIE GESAGT/GESCHRIEBEN hätte, dass
>
>       n e IN => n + 1 e IN
>
> gilt. (Das hat unser Mückenmann gefickt eingeschädelt.)

BEMERKENSWERT ist jedoch, dass er in seinem Bestseller unmittelbar nach
der Angabe seiner "Axiome" schreibt:

"Schon mit Hilfe der Axiome (4.1) und (4.2) allein können die
natürlichen Zahlen sofort gebildet werden:

1 e IN => 1 + 1 = 2 e IN => 2 + 1 = 3 e IN usw."

Seine beiden "Axiome" (4.1) und (4.2) lauten aber:

1 ∈ M (4.1)
n ∈ M ⇒ (n + 1) ∈ M (4.2)

WM schafft es also wieder einmal (so scheint es ihm jedenfalls), etwas
über /XYZ/ "zu sagen", ohne /XYZ/ überhaupt zu erwähnen. Man muss das
wohl als eines der herausragendsten Features der Mückenmatik ansehen.

JEDEM anderen würde einleuchten, dass zu diesem Zweck die Axiome (4.1)
und (4.2) wohl besser/angemessener wie folgt lauten sollten/müssten:

1 ∈ ℕ (4.1)
n ∈ ℕ ⇒ (n + 1) ∈ ℕ (4.2)

Es hat schon seinen Grund, warum die Peano-Axiome so sind, wie sie sind.
Mückenheims "Verbesserung" des von Peano angegebenen Axiomensystems ist
genau so, wie man es vom GRÖMAZ erwartet: saudummer Scheißdreck.

WM schrieb:
> On 21.05.2024 21:01, Dieter Heidorn wrote:
>> WM schrieb:
>>> On 21.05.2024 16:22, Dieter Heidorn wrote:
>>>> WM schrieb:
>>>
>>>>> Wende es doch einmal auf Zahlen ohne ℵo Nachfolger an.
>>>>
>>>> Die gibt es nicht. In der Mathematik hat jede endliche natürliche Zahl
>>>> eine Nachfolgermenge der Mächtigkeit ℵo.
>>>> Also kannst Du nur natürliche Zahlen mit ℵo Nachfolgern in
>>> Bijektion mit
>>> Brüchen setzen.
>>
>> Nö.
>
> Wie bitte???

1. Allgemein: Eine Bijektion bildet zwei Mengen aufeinander ab.
Dabei werden keine "Zahlen mit Brüchen in Bijektion gesetzt".
Vielmehr wird ein Zuordnungsgesetz formuliert, nach dem geordnete
Paare gebildet werden, deren erste Komponent ein Element der
Definitionsmenge und die zweite Komponente ein Element der Wertemenge
der Funktion ist.

2. Hier: Man kann jede Menge M, die gleichmächtig zu ℕ ist, verwenden,
um eine Abzählung durchzuführen. Die Verwendung von ℕ ist nur
bevorzugt, weil sie leicht zu behandeln ist.

>> Die Cantorsche Bijektion
>>
>>        f: ℕ×ℕ → ℕ , (m,n) ↦ m + (m + n - 1)(m + n - 2)/2
>>
>>     ist nachweislich injektiv und surjektiv.
>
> Das ist wissenschaftlich nachgewiesen,

Latürnich.

Voraussetzung: Konstruktion der Funktion f in der von Cantor in dem hier
mehrfach zitierten Text (Ges. Abh., S.294f.) beschriebenen Weise
(Diagonalabzählung)
https://gdz.sub.uni-goettingen.de/id/PPN237853094?tify={%22pages%22%3A[306]%2C%22pan%22%3A{%22x%22%3A0.321%2C%22y%22%3A0.73}%2C%22view%22%3A%22%22%2C%22zoom%22%3A0.301}

1. Sei f(m_1,n_1) = f(m_2,n_2), also

m_1 + (m_1 + n_1 - 1)(m_1 + n_1 - 2)/2
= m_2 + (m_2 + n_2 - 1)(m_2 + n_2 - 2)/2 (*)

Beide Funktionswerte liegen auf derselben Diagonalen, d.h. es ist

m_1 + n_1 = m_2 + n_2 .

Damit folgt aus (*)

m_1 = m_2 .

Damit folgt:

m_1 + n_1 = m_2 + n_1 = m_2 + n_2 ,

und daraus

n_1 = n_2 .

Also: f(m_1,n_1) = f(m_2,n_2) ⇒ (m_1,n_1) = (m_2,n_2) .
f ist injektiv.

2. Sei k∈ℕ.

k liegt auf einer Diagonalen mit der konstanten Summe m + n.

Nach Konstruktion von f gibt es ein Koordinatenpaar (m_k,n_k)
auf dieser Diagonalen, für das gilt:

f(m_k,n_k) = m_k + (m_k + n_k - 1)(m_k + n_k - 2)/2 = k .

Also: für jedes k∈ℕ gibt es ein Paar (m,n)∈ℕ×ℕ mit f(m,n) = k.
f ist surjektiv auf ℕ .

Somit ist f bijektiv und umkehrbar. (Die Umkehrfunktion wurde hier
bereits mehrfach angegeben.)

Das bedeutet:

>>     Jedem Paar (m,n)∈ℕ×ℕ wird eineindeutig eine natürliche Zahl k∈ℕ
>>     zugeordnet und jede natürliche Zahl k∈ℕ wird als Funktionswert
>>     angenommen.

Einwände dagegen hast du nicht vorbringen können.

> Bei Cantors Abzählung gibt es tatsächlich nur Zahlen mit
> Nachfolgern:

Bei unendlichen Mengen bedeutet Abzählung die Angabe einer bijektiven
Funktion, welche die Mengen aufeinander abbildet.
Cantors Funktion f: ℕ×ℕ → ℕ bildet die Paarmenge natürlicher Zahlen
bijektiv auf die Menge der natürlichen Zahlen ab. Das bedeutet:
_Jedem_ Paar (m,n)∈ℕ×ℕ wird eineindeutig eine natürliche Zahl k∈ℕ
zugeordnet und _jede_ natürliche Zahl k∈ℕ wird als Funktionswert
angenommen - ohne Ausnahmen und ohne Einschränkungen.

Um Letzteres zu betonen hat Cantor (an anderer Stelle) eine
veranschaulichende Formulierung gewählt, die du selbst hier zitiert
hast:
"[...] und es erfährt daher der aus unserer Regel resultierende
Zuordnungsprozeß /keinen Stillstand/."

Und um das eigentliche Thema nicht zu vergessen: Wenn f eine Bijektion
ist, und dein "X-O-Geschiebe" ein anderes Ergebnis liefert, als Cantors
Abzählung der Paarmenge natürlicher Zahlen, dann ist offensichtlich dein
Geschwurbel falsch.

Dieter Heidorn

On 21.05.2024 22:29, Moebius wrote:
> Am 21.05.2024 um 20:31 schrieb Dieter Heidorn:
>> Stefan Schmitz schrieb:
>
>>>> "Die Menge der natürlichen Zahlen ℕ = { 1, 2, 3, ...} wird durch die
>>>>  folgenden Axiome definiert:
>>>>
>>>>       1 ∈ M                                       (4.1)
>>>>       n ∈ M  ⇒ (n + 1) ∈ M                       (4.2)
>>>>       Erfüllt M (4.1) und (4.2), so gilt ℕ ⊆ M .  (4.3)  "
>>>
>>> (4.2) soll ja jetzt doch nicht gelten.
>
> @SS: (4.2) gilt ja auch im Kontext der ML nicht. Überleg' Dir nochmal
> was (4.2) eigentlich besagt... (und bedenke, dass 1 + 1 !e {1} ist).
>
> Kurz: "Entweder besagen diese "Axiome", dass _alle_ Mengen M die Zahl 1
> enthalten und mit n auch die Zahl n+1; oder aber 4.1 und 4.2 sind gar
> keine Axiome, sondern lediglich die "Bedingungen" für 4.3."

Alle Mengen, die hier relevant sind, enthalten die 1 und mit n auch n+1.
ℕ erfüllt diese Axiome auch und ist Untermenge jeder solchen Menge M.
Wer das nicht versteht, sollte sich ein anderes Hobby suchen.

Gruß, WM

On 21.05.2024 22:30, Stefan Schmitz wrote:
> Am 21.05.2024 um 21:54 schrieb WM:

>> Erstens habe ich diese Erkenntnisse erst ganz langsam und ganz spät,
>> etwa seit Oktober 2018 gewonnen (das Buch erschien in 4. Auflage
>> 2015), und zweitens spielen sie für die richtige Mathematik überhaupt
>> keine Rolle.
>
> Na, das ist doch mal ein Eingeständnis. Dein ganzes Geschwurbel der
> letzten Jahrzehnte spielt für die richtige Mathematik keinerlei Rolle.

Genau so wie die Mengenlehre dafür keine Rolle spielt. Aber für ein
grundsätzliches Verständnis der Mengenlehre sind meine Erkenntnisse
unabdingbar.

Gruß, WM

On 22.05.2024 18:38, Dieter Heidorn wrote:
> WM schrieb:
>> On 21.05.2024 21:01, Dieter Heidorn wrote:
>>> WM schrieb:
>>>> On 21.05.2024 16:22, Dieter Heidorn wrote:
>>>>> WM schrieb:
>>>>
>>>>>> Wende es doch einmal auf Zahlen ohne ℵo Nachfolger an.
>>>>>
>>>>> Die gibt es nicht. In der Mathematik hat jede endliche natürliche Zahl
>>>>> eine Nachfolgermenge der Mächtigkeit ℵo.
>>>>> Also kannst Du nur natürliche Zahlen mit ℵo Nachfolgern in
>>>> Bijektion mit
>>>> Brüchen setzen.
>>>
>>> Nö.
>>
>> Wie bitte???
>
> 1. Allgemein: Eine Bijektion bildet zwei Mengen aufeinander ab.
>    Dabei werden keine "Zahlen mit Brüchen in Bijektion gesetzt".

Bei Cantor schon. "dass sich (n) nicht eindeutig zuordnen lasse dem
Inbegriffe (p/q) aller positiven rationalen Zahlen p/q ?"
Aber es geht um die Frage, ob Du nur natürliche Zahlen mit Nachfolgern
abbildest oder alle.
Bitte antworten.

> 2. Sei k∈ℕ.

Mit Nachfolger oder aus der gesamten Menge?
> Um Letzteres zu betonen hat Cantor (an anderer Stelle) eine
> veranschaulichende Formulierung gewählt, die du selbst hier zitiert
> hast:
> "[...] und es erfährt daher der aus unserer Regel resultierende
> Zuordnungsprozeß /keinen Stillstand/."

Ja, das bedeutet, dass die Zuordnung auf ewig unvollständig bleibt.
>
> Und um das eigentliche Thema nicht zu vergessen: Wenn f eine Bijektion
> ist, und dein "X-O-Geschiebe" ein anderes Ergebnis liefert, als Cantors
> Abzählung der Paarmenge natürlicher Zahlen, dann ist offensichtlich

Cantors Zuordnung unvollständig. Die Ursache dafür habe ich gefunden und
angegeben. Erstens gibt es viel mehr Brüche als natürlichen Zahlen.
Zweitens kann Cantor und auch jeder Bijektor sonst nur endlich viele
Zahlen verwenden, weil jede verwendete Zahl unendlich viele Nachfolger
besitzt.

Gruß, WM

Am 22.05.2024 um 18:38 schrieb Dieter Heidorn:
> WM schrieb:

>> Bei Cantors Abzählung gibt es tatsächlich nur [natürliche] Zahlen mit Nachfolgern [...]

In der Mückenmatik gibt es - im Gegensatz zur üblichen Mathematik -
offenbar _natürliche Zahlen ohne Nachfolger_.

Das ist ok so; nur sollte man sich des Gegensatzes zwischen der
(üblichen/klasssischen) Mathematik und der (wahninduzierten) Mückenmatik
bewusst sein.

On 23.05.2024 01:44, Moebius wrote:
> Am 22.05.2024 um 18:38 schrieb Dieter Heidorn:
>> WM schrieb:
>
>>> Bei Cantors Abzählung gibt es tatsächlich nur [natürliche] Zahlen mit
>>> Nachfolgern [...]
>
> In der Mückenmatik gibt es - im Gegensatz zur üblichen Mathematik -
> offenbar _natürliche Zahlen ohne Nachfolger_.

Wenn man das lineare System aller natürlichen Zahlen zu irgndwelchen
Prozessen gebrauchen will, dann stehen zwei Möglichkeiten offen.
Entweder arbeitet man in aktualer Unendlichkeit (nur dort ist eigentlich
der Quantor "alle" gerechtfertigt), und so gründlich, dass keine einzige
Zahl übrig bleibt, was nur nach der letzten der Fall sein kann, oder man
arbeitet in potentieller Unendlichkeit, so dass der Prozess keinen
Stillstand erfährt.

Da keine letzte natürliche Zahl erkennbar ist, kann man in aktualer
Unendlichkeit noch so gründlich arbeiten, ohne fertig zu werden. Das
geht nur bei kollektiver Anwendung. Aber da geht es laut Mengenlehre
ohne Probleme, denn
|ℕ \ {1, 2, 3, ...}| = 0.

Gruß, WM

Am 23.05.2024 um 14:40 schrieb WM:
> Entweder arbeitet man in aktualer Unendlichkeit (nur dort ist eigentlich
> der Quantor "alle" gerechtfertigt), und so gründlich, dass keine einzige
> Zahl übrig bleibt, was nur nach der letzten der Fall sein kann

Auf Deutsch also: Aktuale Unendlichkeit ist endlich?

Am 2024-05-23 um 14:40 schrieb WM:
> |ℕ \ {1, 2, 3, ...}| = 0.

das stimmt !

- die Differenz zwischen 0 und 1 ist 1.
- die Differenz zwischen 0 und 2 ist 2.
- die Differenz zwischen 0 und 3 ist 3.
.... etc. pp. ...

- die Differenz zwischen 1 und 1 ist 0. <---

- die Differenz zwischen 1 und 2 ist 1.
- die Differenz zwischen 1 und 3 ist 2.
.... etc. pp. ...

- die Differenz zwischen aleph_0     und 1 ist 0 ( 1 zwischen 1 = 0) !
- die Differenz zwischen aleph_0     und aleph_2 ist aleph_1.
- die Differenz zwischen 0           und aleph_0 ist 1.
- die Differenz zwischen 1           und aleph_0 ist 0.
- die Differenz zwischen aleph_n     und aleph_m ist 0.  ( 1 <-> 1 = 0) !

- die Differenz zwischen aleph_n + 1 und aleph_n ist 0 (mit Vorbehalt:
  weil: alpeh_0 = 1 und aleph_n = 1, und aleph_n*2 = 1) !

Euer Schreiberling
Jens

WM schrieb:
> On 22.05.2024 18:38, Dieter Heidorn wrote:
>> WM schrieb:
>>> On 21.05.2024 21:01, Dieter Heidorn wrote:
>>>> WM schrieb:
>>>>> On 21.05.2024 16:22, Dieter Heidorn wrote:
>>>>>> WM schrieb:
>>>>>
>>>>>>> Wende es doch einmal auf Zahlen ohne ℵo Nachfolger an.
>>>>>>
>>>>>> Die gibt es nicht. In der Mathematik hat jede endliche natürliche
>>>>>> Zahl
>>>>>> eine Nachfolgermenge der Mächtigkeit ℵo.
>>>>>> Also kannst Du nur natürliche Zahlen mit ℵo Nachfolgern in
>>>>> Bijektion mit
>>>>> Brüchen setzen.
>>>>
>>>> Nö.
>>>
>>> Wie bitte???
>>
>> 1. Allgemein: Eine Bijektion bildet zwei Mengen aufeinander ab.
>>    Dabei werden keine "Zahlen mit Brüchen in Bijektion gesetzt".
Vielmehr wird ein Zuordnungsgesetz formuliert, nach dem geordnete
Paare gebildet werden, deren erste Komponent ein Element der
Definitionsmenge und die zweite Komponente ein Element der
Wertemenge der Funktion ist.
>
> Bei Cantor ...

.... ist die Definitionsmenge ℕ×ℕ, die Wertemenge ℕ, und die
Zuordnungsvorschrift lautet f(m,n) = m + (m + n - 1)(m + n - 2)/2.

Bei der Cantorschen Bijektion f wird jedem Paar (m,n)∈ℕ×ℕ eineindeutig
eine natürliche Zahl k∈ℕ zugeordnet und jede natürliche Zahl k∈ℕ wird
als Funktionswert angenommen.

> Aber es geht um die Frage, ob Du nur natürliche Zahlen mit Nachfolgern
> abbildest oder alle.

Deine Frage impliziert, dass es natürliche Zahlen ohne Nachfolger gibt.
Das mag in deinem Wahnsystem so sein - in der Mathematik dagegen hat
jede endliche natürliche Zahl eine Nachfolgermenge der Mächtigkeit ℵo.

>> 2. Sei k∈ℕ.
>
> Mit Nachfolger oder aus der gesamten Menge?

Beim Nachweis der Surjektivität von f wird gezeigt, dass es für
_jedes_ k∈ℕ ein Paar (m,n)∈ℕ×ℕ mit f(m,n) = k gibt.

Deine Frage impliziert, dass es natürliche Zahlen ohne Nachfolger gibt.
Das mag in deinem Wahnsystem so sein - in der Mathematik dagegen hat
jede endliche natürliche Zahl eine Nachfolgermenge der Mächtigkeit ℵo.

>> Um Letzteres zu betonen hat Cantor (an anderer Stelle) eine
>> veranschaulichende Formulierung gewählt, die du selbst hier zitiert
>> hast:
>> "[...] und es erfährt daher der aus unserer Regel resultierende
>> Zuordnungsprozeß /keinen Stillstand/."
>
> Ja, das bedeutet, dass die Zuordnung auf ewig unvollständig bleibt.

Wenn man so dämlich ist, Cantors veranschaulichende Formulierung
wörtlich zu nehmen, dann scheint das so zu sein. Was Cantor aber nur
umschreiben will, ist die simple Definition:
Bei einer unendlichen Menge M bedeutet Abzählung die Angabe einer
bijektiven Funktion, welche die Menge ℕ der natürlichen Zahlen auf
die Menge M abbildet.

Cantors Funktion f: ℕ×ℕ → ℕ bildet die Paarmenge natürlicher Zahlen
bijektiv auf die Menge der natürlichen Zahlen ab. Das bedeutet:
_Jedem_ Paar (m,n)∈ℕ×ℕ wird eineindeutig eine natürliche Zahl k∈ℕ
zugeordnet und _jede_ natürliche Zahl k∈ℕ wird als Funktionswert
angenommen - ohne Ausnahmen und ohne Einschränkungen.

>> Und um das eigentliche Thema nicht zu vergessen: Wenn f eine Bijektion
>> ist, und dein "X-O-Geschiebe" ein anderes Ergebnis liefert, als Cantors
>> Abzählung der Paarmenge natürlicher Zahlen, dann ist offensichtlich ...

... dein Geschwurbel falsch.

> Cantors Zuordnung [ist] unvollständig.

Nein. Die Surjektivität von f garantiert, dass jede natürliche Zahl k∈ℕ
als Funktionswert eines Paares (m,n)∈ℕ×ℕ angenommen wird.

Darum existiert die Matrix

B = [m + (m + n - 1)(m + n - 2)/2]_(m,n ∈ ℕ) ,

auch wenn jede endliche natürliche Zahl ℵo Nachfolger hat.

> Die Ursache dafür habe ich gefunden und angegeben.

Nein. Auch wenn du es noch so oft behauptest, hast du nicht "alles so
wie Cantor" gemacht, sondern etwas zusammengebastelt, dass nicht der
Bijektion f: ℕ×ℕ → ℕ entspricht. Wenn du dabei ein anderes Ergebnis
erzielst als Cantor, so stellt das keine Widerlegung von Cantors
Nachweis der Gleichmächtigkeit von ℕ×ℕ und ℕ dar.

Dein Vorgehen kann man mit folgendem Beispiel verdeutlichen:
Dein Nachbar teilt dir mit, dass er seinen Gartenzaun grün anstreichen
will. Du als Experte für Gartenzäune sagst ihm, dass das nicht geht.
Zum Beweis gehst du in den nächsten Baumarkt, kaufst einige Dosen Farbe
und Pinsel, und streichst deinen Zaun rot an. Damit glaubst du bewiesen
zu haben, dass Gartenzäune nicht grün gestrichen werden können.

> Erstens gibt es viel mehr Brüche als natürlichen Zahlen.

"Mehr" oder "weniger" Elemente sind bei unendlichen Mengen ungeeignete
Begriffe, um die Größe von Mengen zu vergleichen. Daher wurde der
Begriff der Mächtigkeit eingeführt, und definiert, dass zwei Mengen
gleichmächtig sind, wenn sie bijektiv aufeinander abgebildet werden
können.

> Zweitens kann Cantor und auch jeder Bijektor sonst nur endlich viele
> Zahlen verwenden, weil jede verwendete Zahl unendlich viele Nachfolger
> besitzt...

.... und diese Nachfolger werden alle durch die Bijektion erfasst, da die
Definitionsmenge und die Wertemenge der Bijektion alle Elemente
enthalten, die zu diesen Mengen gehören.

Dein Problem ist wieder selbst gemacht: Du glaubst, man müsse "prozess-
artig", "Schritt für Schritt" vorgehen. Das wird aber nirgends gefordert
oder vorausgesetzt. Es wird auch nicht gefordert, alle Paarungen einer
Bijektion auf einmal anzugeben. Es wird einzig und allein der Nachweis
gefordert, dass eine Zuordnungsvorschrift zwischen zwei Mengen angegeben
werden kann, welche die Elemente der Mengen in gegenseitig eindeutiger
Weise zuzuordnen erlaubt. In Cantors Worten:

"Zwei Mengen M und N nennen wir 'äquivalent' und bezeichnen dies mit

M ~ N oder N ~ M , (4)

wenn es möglich ist, dieselben gesetzmäßig in eine derartige Beziehung
zu setzen, daß jedem Element der einen von ihnen ein und nur ein
Element der andern entspricht.
[...]
Hat man ein solches Zuordnungsgesetz zweier äquivalenten Mengen, so
läßt sich dasselbe (abgesehen von dem Falle, daß jede von ihnen aus
nur einem Elemente besteht) mannigfach modifizieren."
(Ges. Abh., S.283)

Dieter Heidorn

On 23.05.2024 15:02, Stefan Schmitz wrote:
> Am 23.05.2024 um 14:40 schrieb WM:
>> Entweder arbeitet man in aktualer Unendlichkeit (nur dort ist
>> eigentlich der Quantor "alle" gerechtfertigt), und so gründlich, dass
>> keine einzige Zahl übrig bleibt, was nur nach der letzten der Fall
>> sein kann
>
> Auf Deutsch also: Aktuale Unendlichkeit ist endlich?

Nicht so ganz. Eine aktual unendliche Menge ist vor allem vollständig.

- Sie ist unendlich, weil kein Ende innerhalb der Menge erkennbar oder
erreichbar ist. Man kann immer weiter fortschreiten, weil die Folge
definierbarer Zahlen potentiell unedlich ist, also niemals beendet
werden kann.

- Sie ist insofern endlich, als in der Fortschreitungssrichtug ein Punkt
existiert, nach dem die Folge nicht weitergeht, z.B. 0 oder omega.

Gruß, WM

On 23.05.2024 22:02, Dieter Heidorn wrote:
> WM schrieb:

> Bei der Cantorschen Bijektion f wird jedem Paar (m,n)∈ℕ×ℕ eineindeutig
> eine natürliche Zahl k∈ℕ zugeordnet und jede natürliche Zahl k∈ℕ wird
> als Funktionswert angenommen.
>
>> Aber es geht um die Frage, ob Du nur natürliche Zahlen mit Nachfolgern
>> abbildest oder alle.
>
> Deine Frage impliziert,

Vollständigkeit oder nicht?

> dass es natürliche Zahlen ohne Nachfolger gibt.

Wenn man alle subtrahiert, so bleibt keine übrig.

> Das mag in deinem Wahnsystem so sein - in der Mathematik dagegen hat
> jede endliche natürliche Zahl eine Nachfolgermenge der Mächtigkeit ℵo.

Also kann man nicht alle subtrahieren?
>
>>> Um Letzteres zu betonen hat Cantor (an anderer Stelle) eine
>>> veranschaulichende Formulierung gewählt, die du selbst hier zitiert
>>> hast:
>>> "[...] und es erfährt daher der aus unserer Regel resultierende
>>> Zuordnungsprozeß /keinen Stillstand/."
>>
>> Ja, das bedeutet, dass die Zuordnung auf ewig unvollständig bleibt.
>
> Wenn man so dämlich ist, Cantors veranschaulichende Formulierung
> wörtlich zu nehmen, dann scheint das so zu sein. Was Cantor aber nur
> umschreiben will

ist die nackte Tatsache. Der Zuordnungsprozess hört niemals auf und ist
niemals vollständig.

>, ist die simple Definition:
>    Bei einer unendlichen Menge M bedeutet Abzählung die Angabe einer
>    bijektiven Funktion, welche die Menge ℕ der natürlichen Zahlen auf
>    die Menge M abbildet.

Ja, die Menge kann man vollständig manipulieren, die Elemente aber nicht.
>
> ... und diese Nachfolger werden alle durch die Bijektion erfasst, da die
> Definitionsmenge und die Wertemenge der Bijektion alle Elemente
> enthalten, die zu diesen Mengen gehören.

Leider kann man die Elemente nicht erfassen.
>  wenn es möglich ist, dieselben gesetzmäßig in eine derartige Beziehung
>  zu setzen, daß jedem Element der einen von ihnen ein und nur ein
>  Element der andern entspricht.

Wie mein Beweis zeigt, ist das nicht möglich. Gegen meine Matrizen hat
Cantor übrigens keine Einwände, denn "In der Tat bleibt nach der obigen
Definition der Mächtigkeit die Kardinalzahl |M| ungeändert, wenn an
Stelle eines Elementes oder auch an Stelle mehrerer, selbst aller
Elemente m von M je ein anderes Ding substituiert wird."

Gruß, WM