Am 2024-05-05 um 15:31 schrieb Moebius:
>
> "...we had better regard —after all those centuries!— zero as a most
> natural number." --Edsger W. Dijkstra

jaja...
Babbel und Co. lassen grüßen ...

wie dämliches Pack.

Jens

Am 05.05.2024 um 17:50 schrieb WM:
> On 05.05.2024 15:49, Moebius wrote:
>> Am 05.05.2024 um 15:43 schrieb Moebius:
>>> Am 05.05.2024 um 15:31 schrieb Moebius:
>>>> Am 05.05.2024 um 15:02 schrieb Moebius:
>>>>
>>>>> Mal davon abgesehen ist 0 klarerweise keine natürliche Zahl, ...
>>>>
>>>> Obwohl es immer ein paar Spinner gibt, die das anders sehen:
>>>>
>>>> "...we had better regard —after all those centuries!— zero as a most
>>>> natural number." --Edsger W. Dijkstra
>>>>
>>>> Source:
>>>> https://www.cs.utexas.edu/users/EWD/transcriptions/EWD08xx/EWD831.html
>>>
>>> Oder:
>>>
>>> "To the average educated person of the present
>>> day, the obvious starting-point of mathematics
>>> would be the series of whole numbers,
>>>
>>>       1, 2, 3, 4, ... etc.
>>>
>>> Probably only a person with some mathematical
>>> knowledge would think of beginning with 0 instead
>>> of with 1, but we will presume this degree of knowl-
>>> edge; we will take as our starting-point the series:
>>>
>>>       0, 1, 2, 3, ... n, n + 1, ...
>>>
>>> and it is this series that we shall mean when we
>>> speak of the “series of natural numbers.”"
>>>
>>> (Bertrand Russell, Introduction to Mathematical Philosophy, 1919)
>>
>> Dazu merkt er dann an:
>>
>> "It is only at a high stage of civilisation that we
>> could take this series as our starting-point. It must
>> have required many ages to discover that a brace of
>> pheasants and a couple of days were both instances
>> of the number 2: the degree of abstraction involved
>> is far from easy. And the discovery that 1 is a num-
>> ber must have been difficult. As for 0, it is a very
>> recent addition; the Greeks and Romans had no
>> such digit. If we had been embarking upon mathe-
>> matical philosophy in earlier days, we should have
>> had to start with something less abstract than the
>> series of natural numbers, which we should reach
>> as a stage on our backward journey."
>
>     Why zero has been included in the set of natural numbers

Ja, sicher, Mückenheim, dafür gibt es viele gute Gründe. Insbesondere im
Kontext der Mengenlehre und/oder Informatik). :-)

In der Zahlentheorie belässt man es oft bei IN = {1, 2, 3, ...}.

Am 2024-05-05 um 17:36 schrieb WM:
>
> Das ist alles Unsinn, der darauf beruht, dass alle natürlichen Zahlen
> als nicht dunkel vorausgesetzt werden.

das ist Blödsinn von Dir, mein lieber WM.

Die Betrachtung von |IN| liegt nur im positiven Bereich.
0 und 1 sind positiv.
0 kann aber auch negative sein - also beides. worauf man dann schließen
sollte, das 0 einen Eingang, und einen Ausgang hat.

0 wird von der eins (1) angepiegst ( durch die Spitze da oben an der
eins).
Dann ist da ein Loch in der 0. dieses Loch wird aber dadurch wieder ge-
stopft, das der Rest der 1 in die 0 einfließt, und somit das Einpiegs-
loch wieder verschließt, so dass letzendlich eine schwangere 0 übrig
bleibt.
Diese schwangere 0 ist also "potent" geworden.
Jetzt ist es aber so, das innerhalb der 0 keine Bewegung mehr statt-
findet - es kann nichts mehr rein, aber auch nichts mehr austreten.
Von daher kann man, da ja von Neumann hier gilt (0 = 1), beweisen, das
die 0 von einen 0-Ding (einen Nichts) zu 1 morphiert ist, was dann
1-Ding ergibt.
Laut Definition von oo-Mengen greift dann, das oo-Mengen auf 1 gesetzt
werden.
Warum ?
Ganz einfach: diese "potentielle" 0 (also 1) ist ja nun entstanden, und
gilt als "existent" anzusehen:
- etwas, was existiert kann man nicht teilen, ohne das dabei die Strukt-
ur verändert wird.
- etwas, was existiert, kann man (rein gedanklich) sehen - die eben noch
dunkel und hell (also die graue 0) wurde durch die positive 1 zu einer
hellen "potenten" 0 - wobei mit anpiegsen ein "Anfang" gemacht wurde.
Anfänge werden meist (jetzt nicht digital gedacht) mit 1 begonnen.

Da sich nun die 1 mit der zu Grunde liegenden Basis (also 0 und 1)
teilen kann, durch zwei, wird aus der "doppelten" Teilung der 1 wieder
eine 1 entstehen wieder und wieder.
man könnte also schreiben:

1 * 1 => 1 + 1 => 1 ^2. ergibt immer nur 1.

Unter physikalichen und realen Bedingungen würde das wohl unter Inzest
oder "trans"finite gelten (Transmenschen kann man ja auch in 2 Teile
untergliedern/teilen: Mann-Frau oder: Frau-Mann).

Am Anfang der Menschheits-Geschichte hat ja das gleiche stattgefunden:
Adam hat mit seiner Schlange die Eva zu einer "potenten" 0 gemacht (ja
ich weiß was jetzt kommen wird, vorher war Eva die Nummer 1, weil sie es
ja auch geschafft hat den Adam mit seiner Schlange zu überlisten, und da
dann der Adam die 0 war, aber das ist eine ganz andere Geschichte, die
erzähle ich Euch ein anderes mal... hiho:).

Na jedenfalls waren doch nur 2 vorhanden, die Eva und der Adam.
Eva wurde schwanger...
.... dann musste Adam neben dem brüderjen auch ein schwesterjen frabriz-
ieren, dann hat sich Schwester mit Bruder, und so weiter und so fort...
Bis Heute sind alle Menschen so gesehen die Kopie der Kopie der Kopien,
Mit all ihren Facetten.
Das dann Fehlschläge dabei waren und bleiben ist nur eine Konzequence
der Geschichte...

Niemand würde dieses Thema in der Öffentlichkeit aussprechen - weil das
Thema Inzest ja verpöhnt ist, und es immer mehr (inovatisch betrachtet)
"nicht" denkende Menschen gibt.

Alles muss man ihnen vorkauen.
Alles wird irgendwo abgeschrieben.
Alles wird von einen anderen angelugxt.
Alles wird eingeheimst, am besten gratis/kostenlos (dass das dann nicht
umsonst sein könnte, würde man in vielen Bereichen mit den Konzequenzen
(rechnen)/denken müssen...).
Immer höher, immer schöner, immer reicher...

jaja macht nur so weiter...

Ich bin da raus aus der Nummer - Aus die Maus.

Euer Schreiberling
Jens

Am 2024-05-05 um 18:33 schrieb joes:
>>> Und ob N einen Ordnungstyp besitzt, ihre Kardinalität.
>>> Was für eine Einschränkung? N ist doch genau {1, 2, 3, …}.
>> Durch Mengenklammern wird jede Reihenfolge zerstört.
> Das tut nichts zur Sache. Auf N ist eine Ordnung definiert.

das ist falsch.
IN hat keine Ordnung, und auch noch niw gehabt.

Ordnung hat nur der Mensch - genau wie die Zeit - erfunden, um
Dinge oder Sachen "besser einsortieren", "besser zu ordnen"
kann.

Jdnx

Am 05.05.2024 um 21:32 schrieb Jens Kallup:

> jaja...

Ja, ja, man kann wohl davon ausgehen, dass Du keine Ahnung hast, wer
Edsger W. Dijkstra war, d. h. noch nie von ihm gehört hast.

Wozu braucht man das auch? Hauptsache, Du weißt wo der
Ein-/Ausschaltknopf Deines PCs ist. Das reicht völlig! :-)

Falls Du wider erwarten doch noch über ein paar funktionierende Neuronen
verfügen solltest, könntest Du Dich ja auch mal ein wenig weiterbilden:

https://de.wikipedia.org/wiki/Edsger_W._Dijkstra

On 05.05.2024 18:33, joes wrote:
> Am Sun, 05 May 2024 17:36:03 +0200 schrieb WM:
>
>> On 05.05.2024 14:16, joes wrote:
>>> Am Sun, 05 May 2024 13:19:58 +0200 schrieb WM:
>>>> On 04.05.2024 22:58, joes wrote:
>>>>> Am Sat, 04 May 2024 17:31:18 +0200 schrieb WM:
>>>>>> On 04.05.2024 15:42, joes wrote:
>>>>>>
>>>>>>> Wie viele natürliche, rationale, und (un)gerade Zahlen gibt es
>>>>>>> nochmal?
>>>>>> |ℕ|, |ℕ|^2+1, |ℕ|/2
>>>>>
>>>>> Woher die +1? Für die 0?
>>>>
>>>> Ja. Übrigens habe ich nicht die Zahl der rationalen Zahlen, sondern
>>>> die der Brüche angegeben. Das sind mehr.
>>> Wie viele mehr? Ich habe nach den rationalen gefragt.
>>
>> Schwer zu sagen. Das sollte Gegenstand zukünftiger Forschung sein.
>> Bisher wurde beides fast immer verwechselt, auch von Cantor.
>
> Fangfrage, die sind identisch, auch wenn es (für jeden Bruch!) natürlich
> N viele erweiterte Darstellungen gibt, also NxN. Wie schön.

Es gibt für jede rationale Zahl unendlich viele Brüche.
>
>>> Wie groß ist |N| genau?
>> Das kann man nicht mit einer natürlichen Zahle in Beziehung setzen. |N|
>> kann als Einheit im Unendlichen dienen. Eine Verbindung mit 1 würde alle
>> dunklen Zahlen aufhellen müssen, was grundsätzlich nicht möglich ist.
> Rischtisch. Die dunklen Zahlen setzen aber nur Sie voraus.

Ich behaupte nicht ihre Existenz. Aber bei unveränderlichen Mengen sind
sie unverzichtbar. Wie sollte eine reelle Zahl durch ihre Ziffern
definiert sein, wenn auch nur eine fehlte? Der Diagonalzahl fehlen
unendlich viele letzte Ziffern.
>
>>>>> Wieviel ist das in Alephs?
>>>> Alephs sind keine quantitativen Mengenangaben, weil alle unendlichen
>>>> Mengen ℵo Elemente haben (ja auch |R). ℵo benutze ich, um "unendlich
>>>> viele" auszudrücken.
>>>> |ℕ|, |ℕ|^2+1, |ℕ|/2, haben alle ℵo Elemente.
>>> Soweit ich weiß, gibt es (natürlich unendliche) Mengen der Kardinalität
>>> Aleph_1. War das nicht irgendwie P(R) oder so?
>> Das ist alles Unsinn, der darauf beruht, dass alle natürlichen Zahlen
>> als nicht dunkel vorausgesetzt werden. Cantors Liste kann nie
>> vollständig sein, eine reelle Zahl kann niemals als Diagonalzahl dieser
>> notwendig unvollständigen Liste resultieren. Auch Hessenbergs Beweis
>> kann nur im potentiell Unendlichen stattfinden und muss daher versagen.
> Was ist das Problem mit dieser Voraussetzung?
> Mögen Sie mir Hessenbergs Beweis skizzieren?

The power set P(S) of S contains as its elements all subsets of S. A
proof by Hessenberg [G. Hessenberg: "Grundbegriffe der Mengenlehre",
offprint from Abhandlungen der Fries'schen Schule, Vol. I, no. 4,
Vandenhoeck & Ruprecht, Göttingen (1906) § 24] shows that there is no
bijection between ℕ and its power set P(ℕ). If ℕ could be bijected with
its power set P(ℕ), then some n could be mapped on subsets s(n) not
containing them. The subset M of all such numbers n,belongs to P(ℕ) as
an element. But the set M together with the mapping s cannot exist.
>
> Das war ja genau der Punkt, daß die Liste reeller Zahlen nicht vollständig
> sein kann. Das ist aber was anderes als ihre „dunklen” Zahlen.

Die Liste reeller Zahlen kann nur dann eine Diagonalzahl erzeugen, wenn
alle Ziffern definiert sind, Es darf keine fehlen, auch die letzte
micht. Hier wird vollständige Unendlichkeit angenommen.
>
>>>>> Wir hatten doch N = ω.
>>>> Ich benutze ω als erste transfinite Zahl. Wenn man damit den
>>>> Ordnungstypus ausdrücken möchte, dann wäre er für jede Folge wie 1, 2,
>>>> 3, ... oder 2, 4, 6, ..., oder 1/1, 1/2, 2/1, 1/3, 2/2, 3/1, 1/4, 2/3,
>>>> 3/2, 4/1, 1/5, 2/4, 3/3, 4/2, 5/1, 1/6, 2/5, 3/4, 4/3, 5/2, 6/1, ...
>>>> anzuwenden. Gleichsetzung mit ℕ ist falsch, da ℕ keine Ordnung
>>>> besitzt,
>>>> Gleichsetzung mit 1, 2, 3, ... ist eine Einschränkung. Naja, die
>>>> "moderne Mengenlehre" ...
>>> Und ob N einen Ordnungstyp besitzt, ihre Kardinalität.
>>> Was für eine Einschränkung? N ist doch genau {1, 2, 3, …}.
>> Durch Mengenklammern wird jede Reihenfolge zerstört.
>
> Das tut nichts zur Sache. Auf N ist eine Ordnung definiert.

Nicht auf der Menge {1, 2, 3, ...}, auch wenn man sie immer so hinschreibt.

Gruß, WM

Am 2024-05-05 um 16:25 schrieb WM:
>> Dann betrachten wir sie doch einfach kollektiv.
>
> Anders geht es nicht. Aber behauptet wird, dass man alle individuell
> manipulieren kann.

man kann ALLE "individuell" manipulieren !!!

Die Sache ist nur die: wie schafft man es, mit wenigen Mitteln, ein
großes Ergebnis zu erzielen !

Das ist billigste BWL 9. Klasse Wissen.

Schonmal was von Minimal- und Maximal-Prinzip gehört.

Das Thema außerhalb der Mathematik wurde ja von den großen Tech-Firmen
ja auch schon fast vollbracht.
In allen Staaten auf der Erde sollen die Menschen "überwacht" und
"kontrollierbar" und "manipulierbar" sein.
Wie hat man das fast geschafft ?
Ganz einfach:
- durch bargeldloses zahlen mit Karte
- durch Benutzung von Smartphones und Mobilen Telefonen (angelockt durch
Fazebugk und Co. - immer schön die Logbücher vollkleistern mit Login
da, Login dort, dann noch GPS Standort und vielen mehr)

Also ich muss schon sagen (abgesehen von der Handvoll wenigen, die noch
übrig gebliebenen 10 Prozent, die keinen Zugang zu Mobilen Telefonen
haben, ist die Rechnung schon seit Jahren aufgegangen.

Mensch Leute - wie blöd seid ihr eigentlich ?

Die Funk-Strahlen überall - also gesund kann das nicht sein, das da alle
3 Kilometer nen Funkmast steht, um alle Flächen mit Funkstrahlen und
Empfang zu versorgen.

Irgendwie bekloppt ...

>> Alle natürlichen Zahlen sind voneinander unterscheidbar; sonst wären sie
>> die gleiche Zahl.
sind sie auch - siehe mein Artikel zur "schwangeren" 0...

> Alle Primzahlen sind voneinander unterscheidbar. Trotzdem wird man fast
> alle niemals unterscheiden können.
ja richtig.
Einzig und alleine bleibt die 1.
Und da 1 nicht als Primzahl gilt, gibt es ja keine einzige Primzahl.
Wieso sollte es eine geben ?

Primzahlen-berechnen kostet Zeit, das haben wir ja schonmal festgestellt
und der ein oder andere postuliert.
Da aber auch Zeit nur eine "gedankliche Erfindung" ist, gibt es auch
streng genommen die 1 nicht.

Alleine bleibt die "schwangere" 0.

Merkt IHR was ?

Frauen sind in ihren jungen, und hübschen Jahren immer sehr heis beliebt
wenn es denn um das Schlangenversteckeln geht.

Sobald aber das Mädchen mit ihren runden Bauch ankommt, dann sind nicht
viele davon begeistert - jedenfalls in der modernen Welt.

Das Spielchen mit der Schlange geht ja einfach, und ist schnell voll-
bracht. Aber anders als bei den Katzen wird dieses Spieljen meist im
stillen Kämmerjen vollbracht...

jaja... da waren sie wieder, die drei Probleme ...

Euer Schreiberling
Jens

Am 2024-05-05 um 22:11 schrieb Moebius:
> Ja, ja, man kann wohl davon ausgehen, dass Du keine Ahnung hast, wer
> Edsger W. Dijkstra war, d. h. noch nie von ihm gehört hast.

nunja, der kennt mich doch auch nicht.

> Wozu braucht man das auch? Hauptsache, Du weißt wo der
> Ein-/Ausschaltknopf Deines PCs ist. Das reicht völlig! 🙂

für Fazebugk reicht das.
Aber so tiefgründige Gedanken aufzuschreiben, die keinen Sinn machen,
ist mir doch der Spaß am wichtigsten - irgendwo muss ja der grüne Strom
abgeleitet werden ...

> Falls Du wider erwarten doch noch über ein paar funktionierende Neuronen
> verfügen solltest, könntest Du Dich ja auch mal ein wenig weiterbilden:
>
> https://de.wikipedia.org/wiki/Edsger_W._Dijkstra

Okay, zu Kenntnis genommen, werden ich vielleicht mal nächsten Winter
lesen.
Heute lasse ich mir meine Waldmeister-Brause schmecken...
Skoal...

Jens

Am 05.05.2024 um 22:11 schrieb Moebius:
> Am 05.05.2024 um 21:32 schrieb Jens Kallup:
>
>> jaja...
>
> Ja, ja, man kann wohl davon ausgehen, dass Du keine Ahnung hast, wer
> Edsger W. Dijkstra war, d. h. noch nie von ihm gehört hast.
>
> Wozu braucht man das auch? Hauptsache, Du weißt wo der
> Ein-/Ausschaltknopf Deines PCs ist. Das reicht völlig! :-)
>
> Falls Du wider erwarten doch noch über ein paar funktionierende Neuronen
> verfügen solltest, könntest Du Dich ja auch mal ein wenig weiterbilden:
>
> https://de.wikipedia.org/wiki/Edsger_W._Dijkstra

Dijkstras EWDs sind legendär. Hier das in Rede stehende:

https://www.cs.utexas.edu/users/EWD/ewd08xx/EWD831.PDF

Tausendmal interessanter als WMs "Kalenderblätter".

Am 05.05.2024 um 15:02 schrieb Moebius:

> da nun mal IN = {1, 2, 3, ...} ist (lt. Herrn Rosenthal).
Und Herr Rosenthal besitzt hier eindeutig die Deutungshoheit: Wenn Herr
Rosenthal sagt, dass das so ist, dann *ist* das so. Kurz: Die Mathematik
hat sich nach Herrn Rosenthals Meinung zu richten! [Sicher, WM ist zwar
der GRÖMATZ, aber Herr Rosenthal folgt ihm dicht auf den Fersen!]

Diese Wikipedianer sollen Scheiße fressen! Wie können sie nur so einen
Unsinn schreiben wie das Folgende:

"Die Menge der natürlichen Zahlen wird mit dem Formelzeichen IN abgekürzt.

Sie umfasst entweder die positiven ganzen Zahlen (also ohne die 0)

IN = {1, 2, 3, ...} ,

oder die nichtnegativen ganzen Zahlen (also inklusive der 0)

IN = {0, 1, 2, 3, ...}."

Ich meine, wo Doch der Herr Rosenthalt gesagt hat, dass IN = {1, 2, 3,
....} ist! Und was Herr Rosenthal sagt, das stimmt!

Was für ein Quatsch: "Beide Konventionen werden uneinheitlich verwendet.
Die ältere Tradition zählt die Null nicht zu den natürlichen Zahlen
[..]. Diese Definition ist gängiger in mathematischen Gebieten wie der
Zahlentheorie, in denen die Multiplikation der natürlichen Zahlen im
Vordergrund steht. _In der Logik, der Mengenlehre und der Informatik ist
dagegen die Definition mit Null gebräuchlicher_ und vereinfacht die
Darstellung." (Wikipedia)

Ich meine, wenn Herr Rosenthal sagt, dass IN = {1, 2, 3, ...} *ist*,
dann ist das so, und das, was in der Wikipedia steht, ist dann natürlich
sinnloser Quatsch! Glaubt mir!

Herr Rosenthal, Sie sind eindeutig der 2. größte Mathematiker aller
Zeiten! Das steht schon mal fest! Niemand (außer WM) kann Ihnen das
Wasser reichen, und zweifellos sind Sie insbesondere eine Koryphäe auf
dem Gebiet der axiomatischen Mengenlehre! (Das hat man ja schon bei dem
Hinweis, dass dort A u B als U{A, B} definiert ist, gesehen.)

.... nur keine falsche Bescheidenheit !

im Prinzip stimme/stehe ich Dir hier mit einigen Passagen bei.

Warum denn die 0 weggelassen wurde, ist mir bis Heute ein großes Rätzel.
Das ganze hat historische Gründe - und ja, ich habe Dein vorgestelltes
Paper mal kurz durchgelesen, und die Webseite besucht, und festgestellt,
das die Pioniere schon 1962 Dinge vor raus gesagt haben, was denn so aus
pädagogischer Schicht sinnfrei und sinnbehaftet ist.

Eine kleine Geschichte zum Hubble Teleskop habe ich an anderer Stelle am
gestriegen Abend schon deutlich gemacht; für die, die meine Spur auch im
Internet verfolgen.

Euer Schreiberling
Jens

Am 06.05.2024 um 16:25 schrieb Dieter Heidorn:

>> IN hat keine Ordnung,
>
> Die < Relation ist eine lineare Ordnung auf ℕ:
>
>    1 < 2 < 3 < 4 < ...

Hier wäre es viell. nicht schlecht, diese von Dir ins Spiel gebrachte
Ordnung (die man oft auch die "gewöhnliche Ordnung der nat. Zahlen"
[oder so] nennt) zu definieren. Z. B. so:

(i) n < m :<-> Es gibt ein k e IN mit n+k = m (n,m e IN)

> Dafür schreibt man auch (ℕ,<) und nennt dieses Paar eine linear[.]
> [geordnete Menge]

(Die Ordnung selbst ist ja, wie Du oben auch gesagt hast, <.)

Im Kontext der axiomatischen Mengenlehre ist es ja noch viel einfacher
(vorausgesetzt die natürlichen Zahlen sind nach von Neumann definiert),
da gilt

(iia) n < m :<-> n e m (n,m e IN)

oder auch

(iib) n < m :<-> n c_echt m (n,m e IN).

Hier "sind" die natürlichen Zahlen also schon aufgrund ihrer
Konstruktion "geordnet". (Man muss ihnen also diese Ordnung noch nicht
mal mittels der Verbindung in einer Paarmenge "aufdrücken", sage ich
jetzt mal so salopp daher. Es ist eine nette kleine Übung, zu zeigen,
dass die Definitionen (i) und (iia) bzw. (iib) äquivalent sind.)

Am 06.05.2024 um 16:25 schrieb Dieter Heidorn:

>> IN hat keine Ordnung,
>
> Die < Relation ist eine lineare Ordnung auf ℕ:
>
> 1 < 2 < 3 < 4 < ...

Hier wäre es viell. nicht schlecht, diese von Dir ins Spiel gebrachte
Ordnung (die man oft auch die "gewöhnliche Ordnung der nat. Zahlen"
[oder so] nennt) zu definieren. Z. B. so:

(i) n < m :<-> Es gibt ein k e IN mit n+k = m (n,m e IN)

> Dafür schreibt man auch (ℕ,<) und nennt dieses Paar eine linear[.]
> [geordnete Menge]

(Die Ordnung selbst ist ja, wie Du oben auch gesagt hast, <.)

Im Kontext der axiomatischen Mengenlehre ist es ja noch viel einfacher
(vorausgesetzt die natürlichen Zahlen sind nach von Neumann definiert),
da kann man definieren:

(iia) n < m :<-> n e m (n,m e IN)

oder auch

(iib) n < m :<-> n c_echt m (n,m e IN).

Hier "sind" die natürlichen Zahlen also schon aufgrund ihrer
Konstruktion "geordnet". (Man muss ihnen also diese Ordnung noch nicht
mal mittels der Verbindung in einer Paarmenge "aufdrücken", sage ich
jetzt mal so salopp daher. Es ist eine nette kleine Übung, zu zeigen,
dass die Definitionen (i) und (iia) bzw. (iib) äquivalent sind.)

Jens Kallup schrieb:
> Am 2024-05-05 um 18:33 schrieb joes:
>>>> Und ob N einen Ordnungstyp besitzt, ihre Kardinalität.
>>>> Was für eine Einschränkung? N ist doch genau {1, 2, 3, …}.
>>> Durch Mengenklammern wird jede Reihenfolge zerstört.
>> Das tut nichts zur Sache. Auf N ist eine Ordnung definiert.
>
> das ist falsch.

Nein, das ist nicht falsch. Durch die "kleiner-Relation" < wird die
Menge ℕ der natürlichen Zahlen linear geordnet.

Cantor beschrieb das 1895 so:

"Eine Menge M nennen wir 'einfach geordnet' [linear geordnet], wenn
unter ihren Elementen m eine bestimmte 'Rangordnung' herrscht, in
welcher von je zwei beliebigen Elementen m_1 und m_2 das eine den
'niedrigeren', das andere den 'höheren' Rang einnimmt, und zwar so,
dass wenn von drei Elementen m_1, m_2 und m_3 etwa m_1 dem Range nach
niedriger ist als m_2, dieses niedriger als m_3, alsdann auch immer m_1
niedrigeren Rang hat als m_3.

 Die Beziehung zweier Elemente m_1 und m_2, bei welcher m_1 den
niedrigeren, m_2 den höheren Rang in der gegebenen Rangordnung hat,
soll durch die Formeln ausgedrückt werden

(1)  m_1 < m_2,  m_2 > m_1."

> IN hat keine Ordnung,

Die < Relation ist eine lineare Ordnung auf ℕ:

1 < 2 < 3 < 4 < ...

Dafür schreibt man auch (ℕ,<) und nennt dieses Paar eine lineare
Ordnung.

Dieter Heidorn

Am 2024-05-06 um 16:25 schrieb Dieter Heidorn:
>> IN hat keine Ordnung,
>
> Die < Relation ist eine lineare Ordnung auf ℕ:
>
>    1 < 2 < 3 < 4 < ...
>
> Dafür schreibt man auch (ℕ,<) und nennt dieses Paar eine lineare
> Ordnung.

das schon klar...
Ich hatte aber dazu geschrieben, das Zeit eine Erfindung ist, um Dinge
wie Mengen "besser" zu sortieren, einzuordnen.

Zeit ist auch linear.
Jedenfalls habe ich unter normalen Umständen noch nie gekrümmte Zeit
gesehen oder erlebt.

Ich kann mir aber vorstellen, das die von Albert Einstein postulierte
Raum Zeit Krümmung existieren könnte.

Jens

On 06.05.2024 16:25, Dieter Heidorn wrote:
> Jens Kallup schrieb:
>> Am 2024-05-05 um 18:33 schrieb joes:

>>>> Durch Mengenklammern wird jede Reihenfolge zerstört.
>>> Das tut nichts zur Sache. Auf N ist eine Ordnung definiert.
>>
>> das ist falsch.
>
> Nein, das ist nicht falsch. Durch die "kleiner-Relation" < wird die
> Menge ℕ der natürlichen Zahlen linear geordnet.
>
> Cantor beschrieb das 1895 so:
>
> "Eine Menge M nennen wir 'einfach geordnet' [linear geordnet], wenn
>  unter ihren Elementen m eine bestimmte 'Rangordnung' herrscht, in
>  welcher von je zwei beliebigen Elementen m_1 und m_2 das eine den
>  'niedrigeren', das andere den 'höheren' Rang einnimmt, und zwar so,
>  dass wenn von drei Elementen m_1, m_2 und m_3 etwa m_1 dem Range nach
>  niedriger ist als m_2, dieses niedriger als m_3, alsdann auch immer m_1
>  niedrigeren Rang hat als m_3.

Und hast Du auch gesehen, wie Cantor geordnete Mengen schreibt?

Gruß, WM

Am Sat, 04 May 2024 17:28:49 +0200 schrieb WM:
> On 04.05.2024 15:42, joes wrote:
>> Am Sat, 04 May 2024 12:27:46 +0200 schrieb WM:
>
>> „Nacheinander” brauchst du nur zum Aufschreiben.
> Und zum Prüfen von Behauptungen. Natürlich nicht alle, aber beliebige.
Und warum soll das nicht möglich sein?

>>> Wenn man schon einen Grenzwert anpeilt, dann diesen: In jedem Schritt
>>> ist die Änderung der Os genau 0. Im Grenzfalle kann das nur bestätigt
>>> werden.
>> Die O’s werden doch ins Unendliche geschoben, nicht? Da ist viel Platz.
> Nein, kein O verlässt die Matrix. Wohin sollte es sich auch wenden? Als
> einziger Abfluss käme die erste Spalte in Betracht. Die ist durch X
> verstopft, solange noch etwas passiert. Und danach kann auch kein O mehr
> fliehen.
Verstopft? Wir tauschen doch nur, die Gesamtzahl der Einträge ändert sich
nicht. Vielmehr brauchen wir die X’e aus der ersten Spalte, um die Matrix
zu füllen.

--
joes

On 15.05.2024 08:55, joes wrote:
> Am Sat, 04 May 2024 17:28:49 +0200 schrieb WM:
>> On 04.05.2024 15:42, joes wrote:
>>> Am Sat, 04 May 2024 12:27:46 +0200 schrieb WM:
>>
>>> „Nacheinander” brauchst du nur zum Aufschreiben.
>> Und zum Prüfen von Behauptungen. Natürlich nicht alle, aber beliebige.
> Und warum soll das nicht möglich sein?

Es ist nur für Zahlen möglich, die ℵo Nachfolger haben, also selbst zu
einem endlichen Anfangsabschnitt gehören, denn in ℕ sind zwei
konsekutive aktual unendliche Mengen ausgeschlossen.
>
>>>> Wenn man schon einen Grenzwert anpeilt, dann diesen: In jedem Schritt
>>>> ist die Änderung der Os genau 0. Im Grenzfalle kann das nur bestätigt
>>>> werden.
>>> Die O’s werden doch ins Unendliche geschoben, nicht? Da ist viel Platz.
>> Nein, kein O verlässt die Matrix. Wohin sollte es sich auch wenden? Als
>> einziger Abfluss käme die erste Spalte in Betracht. Die ist durch X
>> verstopft, solange noch etwas passiert. Und danach kann auch kein O mehr
>> fliehen.
> Verstopft? Wir tauschen doch nur, die Gesamtzahl der Einträge ändert sich
> nicht.

Eben. Die Os bleiben drinnen.

> Vielmehr brauchen wir die X’e aus der ersten Spalte, um die Matrix
> zu füllen.

Die reichen aber nicht, denn die Os bleiben drin.

Gruß, WM

>

Am Wed, 15 May 2024 16:22:49 +0200 schrieb WM:
> On 15.05.2024 08:55, joes wrote:
>> Am Sat, 04 May 2024 17:28:49 +0200 schrieb WM:
>>> On 04.05.2024 15:42, joes wrote:
>>>> Am Sat, 04 May 2024 12:27:46 +0200 schrieb WM:
>>>
>>>> „Nacheinander” brauchst du nur zum Aufschreiben.
>>> Und zum Prüfen von Behauptungen. Natürlich nicht alle, aber beliebige.
>> Und warum soll das nicht möglich sein?
>
> Es ist nur für Zahlen möglich, die ℵo Nachfolger haben, also selbst zu
> einem endlichen Anfangsabschnitt gehören, denn in ℕ sind zwei
> konsekutive aktual unendliche Mengen ausgeschlossen.
Ja, alle n gehören zu einem endlichen Anfangsabschnitt, jede zu einem
anderen (naja, alle gehören zum Anfangsabschnitt ihrer Nachfolger).
Also kann man beliebige Zahlen prüfen.

>>>> Die O’s werden doch ins Unendliche geschoben, nicht? Da ist viel
>>>> Platz.
>>> Nein, kein O verlässt die Matrix. Wohin sollte es sich auch wenden?
>>> Als einziger Abfluss käme die erste Spalte in Betracht. Die ist durch
>>> X verstopft, solange noch etwas passiert. Und danach kann auch kein O
>>> mehr fliehen.
>> Verstopft? Wir tauschen doch nur, die Gesamtzahl der Einträge ändert
>> sich nicht.
> Eben. Die Os bleiben drinnen.
Nein, pro Tausch wird ein 0 in die erste Spalte geschoben, später weiter
hinunter usf. Man braucht keinen Rangierplatz.

>> Vielmehr brauchen wir die X’e aus der ersten Spalte, um die Matrix zu
>> füllen.
> Die reichen aber nicht, denn die Os bleiben drin.
Wir können immer einen weiteren Platz frei machen, da wir die X’e alle
vergeben müssen.

--
joes

On 15.05.2024 18:48, joes wrote:
> Am Wed, 15 May 2024 16:22:49 +0200 schrieb WM:
>> On 15.05.2024 08:55, joes wrote:
>>> Am Sat, 04 May 2024 17:28:49 +0200 schrieb WM:
>>>> On 04.05.2024 15:42, joes wrote:
>>>>> Am Sat, 04 May 2024 12:27:46 +0200 schrieb WM:
>>>>
>>>>> „Nacheinander” brauchst du nur zum Aufschreiben.
>>>> Und zum Prüfen von Behauptungen. Natürlich nicht alle, aber beliebige.
>>> Und warum soll das nicht möglich sein?
>>
>> Es ist nur für Zahlen möglich, die ℵo Nachfolger haben, also selbst zu
>> einem endlichen Anfangsabschnitt gehören, denn in ℕ sind zwei
>> konsekutive aktual unendliche Mengen ausgeschlossen.
> Ja, alle n gehören zu einem endlichen Anfangsabschnitt, jede zu einem
> anderen (naja, alle gehören zum Anfangsabschnitt ihrer Nachfolger).
> Also kann man beliebige Zahlen prüfen.

Nur solche, auf die noch fast alle ungeprüft folgen.
>
>>>>> Die O’s werden doch ins Unendliche geschoben, nicht? Da ist viel
>>>>> Platz.
>>>> Nein, kein O verlässt die Matrix. Wohin sollte es sich auch wenden?
>>>> Als einziger Abfluss käme die erste Spalte in Betracht. Die ist durch
>>>> X verstopft, solange noch etwas passiert. Und danach kann auch kein O
>>>> mehr fliehen.
>>> Verstopft? Wir tauschen doch nur, die Gesamtzahl der Einträge ändert
>>> sich nicht.
>> Eben. Die Os bleiben drinnen.
> Nein, pro Tausch wird ein 0 in die erste Spalte geschoben, später weiter
> hinunter usf.

bleibt aber drin. Und wenn ein O an der Stelle 1/n angelangt ist, dann
kann man sicher sein, dass in der Zeile n überall Os stehen.

>>> Vielmehr brauchen wir die X’e aus der ersten Spalte, um die Matrix zu
>>> füllen.
>> Die reichen aber nicht, denn die Os bleiben drin.
> Wir können immer einen weiteren Platz frei machen, da wir die X’e alle
> vergeben müssen.
>
Jedes X müsste unendlich viele Plätze indizieren. Das geht aber nicht.

Gruß, WM