Mich interessieren Zerlegungen kartesischer Produkte P X Q von nicht
notwendig gleichgroßen Mengen P und Q in Teilmengen A X B, bei denen A
und B gleichgroß sind. Solche A X B würde ich gerne 'kartesisches
Quadrat' nennen.

Ich würde mich freuen, Lesetipps zu bekommen, um zu schauen, was es da
bereits gibt.

Aber bitte nicht so einen Mist:
"Kartesisches Quadrat
Unter einem kartesischen Quadrat versteht man die Verknüpfung aller
Elemente einer Datenmenge, z.B. einer Datenbanktabelle, mit allen
Elementen einer anderen Datenmenge. Das kartesische Quadrat ist ein
wichtiges, weil meist zu vermeidendes Phänomen in der Datenbanktechnik."
(https://www.itwissen.info/Kartesisches-Quadrat-cartesian-square.html)

Gruß,
Rainer Rosenthal
r.rosenthal@web.de

On Wed, 29 May 2024 20:14:49 Rainer Rosenthal wrote:
> Mich interessieren Zerlegungen kartesischer Produkte P X Q von nicht
> notwendig gleichgroßen Mengen P und Q in Teilmengen A X B, bei denen A
> und B gleichgroß sind. Solche A X B würde ich gerne 'kartesisches
> Quadrat' nennen.
>
> Ich würde mich freuen, Lesetipps zu bekommen, um zu schauen, was es da
> bereits gibt.

In "Modern Graph Theory" von Bollobas findet sich auch ein Abschnitt
"squaring the square" in dem er auch "squaring the rectangle" behandelt.
Vermutlich dürfte es auch in anderen Büchern über Graphentheorie
etwas darüber geben, es scheint ein recht altes Problem zu sein.

Dort werden natürlich Seitenlängen in der Problembeschreibung
verwendet, wie es der geometrische Kontext nahelegt. Aber zumindest
für endliche Mengen lässt sich dies auch entsprechend als Anzahl
interpretieren.

v.G.
--
M.O.

Am 31.05.2024 um 01:07 schrieb Marc Olschok:
>
> In "Modern Graph Theory" von Bollobas findet sich auch ein Abschnitt
> "squaring the square" in dem er auch "squaring the rectangle" behandelt.
> Vermutlich dürfte es auch in anderen Büchern über Graphentheorie
> etwas darüber geben, es scheint ein recht altes Problem zu sein.
>
> Dort werden natürlich Seitenlängen in der Problembeschreibung
> verwendet, wie es der geometrische Kontext nahelegt. Aber zumindest
> für endliche Mengen lässt sich dies auch entsprechend als Anzahl
> interpretieren.
>

Besten Dank für den Hinweis. Das Thema ist wirklich sehr alt, aber es
bekommt eine besondere Note, wenn die am zerlegten Produkt P X Q
beteiligten Mengen P und Q eine topologische Struktur haben.
Für Quilt-Zerlegungen müssen die Teile A X B aus Intervallen, also
zusammenhängenden Mengen A und B bestehen. Die erst auf den zweiten
Blick verwandten Widerstandsnetzwerke P X Q mit P = Spannung und Q =
Strom teilen ihre Leistung P * Q auf in 1-Ohm-Widerstände A X B, wobei
nur A zusammenhängend sein muss (A entspricht dem Spannungsabfall am
Widerstand).

Ich liebe das Thema und habe im OEIS allerhand Spuren dazu hinterlassewn :-)

Ganz ohne topologische Einschränkungen lassen sich die P X Q Zerlegungen
als Turniere interpretieren. Berechnungen der Konfigurationen
explodieren im Nullkommanix.

Gruß,
Rainer Rosenthal
r.rosenthal@web.de