Es kommt ziemlich oft vor, daß man eine vom Vorzeichen unabhängige
Funktion in die /nicht-negativen/ Zahlen sucht. Ich nenne hier nur
zwei Beispiele, eines aus der Mathematik und eines aus der Physik:

1. Methode der kleinsten Quadrate

Wir interessieren uns für Fehler. Eine Abweichung von -5 soll aber
/schlechter/ sein als eine Abweichung von 0. Daher /quadrieren/ wir
die Abweichungen, um den zu minimierenden Fehler zu finden.

2. kinetische Energie

Die kinetische Energie eines Massepunktes soll von seiner
Bewegungsrichtung /unabhängig/ sein. Daher /quadrieren/ wir die
Geschwindigkeit, um zur kinetischen Energie zu kommen.

Dabei wird in der Regel so argumentiert: Der Wert kann nicht negativ
sein oder soll nicht vom Vorzeichen abhängen, daher /quadrieren/ wir.

Mir fällt dabei aber nun auf, daß man mit diesem Argument
genauso gut die Betragsfunktion oder die vierte Potenz
verwenden könnte. Warum erweist sich dann doch gerade das
Quadrieren hier so oft als tatsächlich sinnvoll?

Am 24.05.2024 um 20:53 schrieb Stefan Ram:

> 2. kinetische Energie
> wir [quadrieren] die Geschwindigkeit, um zur kinetischen Energie zu kommen.
> [...] Warum erweist sich dann doch gerade das
> Quadrieren hier so oft als tatsächlich sinnvoll?

Weil die (sog.) kinetische Energie _quadratisch_ vom Betrag der
Geschwindigkeit abhängt?

Wenn Du zum Beispiel eine Tiefenmessung durchführen möchtest und keinen
Taschenrechner dabei hast, kannst Du ganz schnell entscheiden, ohne hier
das Ergebnis zu kennen, welcher Betrag heraus kommen müsste.

Das geht am Beispiel:  2 (quadrat für quadrieren) hoch n: e IN.

2 ^2 = 4
2 ^1 = 2
2 ^0 = 1

je tiefer Du gehst, umso kleiner wird das Ergebnis - was ja eigentlich
ein wenig konfus ist, da, je mehr man von einen Thema bearbeitet (also
um so mehr man in die Tiefe geht, das Wissen/die Informationen immer
größer werden, so werden sie hier immer kleiner.

wenn also nun ein negativer Exponent in eine Potenz-Ausdruck vorkommt, so
wird dieser Exponent als Nenner in einen Bruch-Ausdruck sthen.

um also negative Potenzen zu berechnen, muss man den Kehrwert bilden.
Beispiel hierfür wäre:

2 ^-1 = 1/(2 ^1).  das ergibt:
2 ^-1 = 1/2     .  das ergibt:
2 ^-1 = 0.5     .

Man könnte also das Ergebnis so splitten, das es in IN passt (der Ausdruck):
1/0.5 + 1/0.5  =  | zähler und nenner mit 2 erweitert:

1 * 2 / 2 * 0.5  +  1 * 2 / 2 * 0.5  =
    2 / 1        +      2 / 1        = 4/2 mit 2 gekürzt: 2/1 => 2.

Man kann also mit den Kehrwert auf die Potenz schließen.

Jens

Stefan Ram <ram@zedat.fu-berlin.de> schrieb>
>
> 1. Methode der kleinsten Quadrate
>
> [...] Warum erweist sich dann doch gerade das
> Quadrieren hier so oft als tatsächlich sinnvoll?

https://de.wikipedia.org/wiki/Satz_von_Gau%C3%9F-Markow

Stefan Ram schrieb

> Es kommt ziemlich oft vor, daß man eine vom Vorzeichen unabhängige
> Funktion in die /nicht-negativen/ Zahlen sucht. Ich nenne hier nur
> zwei Beispiele, eines aus der Mathematik und eines aus der Physik:

Die beiden Beispielen sind ja bereits erläutert worden.

> Dabei wird in der Regel so argumentiert: Der Wert kann nicht negativ
> sein oder soll nicht vom Vorzeichen abhängen, daher /quadrieren/ wir.

So eine Argumentation für's Quadrieren habe ich noch
nicht gesehen. Du hast völlig Recht mit

> Mir fällt dabei aber nun auf, daß man mit diesem Argument
> genauso gut die Betragsfunktion oder die vierte Potenz
> verwenden könnte.

Man will (nur) einen Begriff für den Abstand zweier Objekte.
Dafür nimmt man in der Regel eine Metrik, siehe
<https://de.wikipedia.org/wiki/Metrischer_Raum>

In einem normierten Vektorraum hat man direkt eine Metrik:
<https://de.wikipedia.org/wiki/Metrischer_Raum#Durch_Normen_erzeugte_Metriken>
> Warum erweist sich dann doch gerade das Quadrieren hier so oft
> als tatsächlich sinnvoll?

Weil die euklidische Norm von einem Skalarprodukt erzeugt
wird, andere Normen i.a. nicht. Siehe
<https://de.wikipedia.org/wiki/Parallelogrammgleichung>,
dort insbesondere
<https://de.wikipedia.org/wiki/Parallelogrammgleichung#Die_Gleichung_in_Vektorr%C3%A4umen>

Für die euklidische Norm hat man mit dem Skalarprodukt
damit zudem einen Begriff von Orthogonalität.

Allgemeiner: L^2 ist ein Hilbertraum, L^p für p ungleich
2 nicht. Siehe
<https://de.wikipedia.org/wiki/Lp-Raum>

Hans

die kleinsten Quadrate bilden also einfach und alleine eine
einfache in KI angewandte Sigmoind Funktion, bei der einfach
alle Ergebnisse gessamelt, und durch einen Indikator geteilt
werden ?

Jens

was ist die "leere Nullmenge" ? - die "induktive (leere) Menge" ?

warum ist die Nullmenge als: IN != { }.  definiert ?

aber es gilt:  | 1 ÎN |_L ^p = 0.

was bedeutet die "eins" (1) vor IN im Betrag ?
ist damit aleph_0 gemeint ?

Jens

Stefan Ram schrieb:
> Es kommt ziemlich oft vor, daß man eine vom Vorzeichen unabhängige
> Funktion in die /nicht-negativen/ Zahlen sucht. Ich nenne hier nur
> zwei Beispiele, eines aus der Mathematik und eines aus der Physik:
>
> 1. Methode der kleinsten Quadrate
>
> Wir interessieren uns für Fehler. Eine Abweichung von -5 soll aber
> /schlechter/ sein als eine Abweichung von 0. Daher /quadrieren/ wir
> die Abweichungen, um den zu minimierenden Fehler zu finden.
>
> 2. kinetische Energie
>
> Die kinetische Energie eines Massepunktes soll von seiner
> Bewegungsrichtung /unabhängig/ sein. Daher /quadrieren/ wir die
> Geschwindigkeit, um zur kinetischen Energie zu kommen.
>
> Dabei wird in der Regel so argumentiert: Der Wert kann nicht negativ
> sein oder soll nicht vom Vorzeichen abhängen, daher /quadrieren/ wir.

In der Regel wird in der Mechanik auf elementarem Niveau so argumentiert:

Newtonsche Grundgleichung: F = m*a

multipliziert mit v: F*v = m*a*v

Die rechte Seite lässt sich umformen:

P = F*v = m*(dv/dt)*v = d(m*v^2/2)/dt

P ist die übertragene Leistung. Die zu- oder abgeführte Energie ändert
die Geschwindigkeit des Teilchens, daher identifiziert man

T = m*v^2/2

als die kinetische Energie (im betrachteten IS).

Dieter Heidorn

Am 24.05.2024 um 20:53 schrieb Stefan Ram:
> Es kommt ziemlich oft vor, daß man eine vom Vorzeichen unabhängige
> Funktion in die /nicht-negativen/ Zahlen sucht. Ich nenne hier nur
> zwei Beispiele, eines aus der Mathematik und eines aus der Physik:
>
> 1. Methode der kleinsten Quadrate
>
> Wir interessieren uns für Fehler. Eine Abweichung von -5 soll aber
> /schlechter/ sein als eine Abweichung von 0. Daher /quadrieren/ wir
> die Abweichungen, um den zu minimierenden Fehler zu finden.
>
> 2. kinetische Energie
>
> Die kinetische Energie eines Massepunktes soll von seiner
> Bewegungsrichtung /unabhängig/ sein. Daher /quadrieren/ wir die
> Geschwindigkeit, um zur kinetischen Energie zu kommen.
>
> Dabei wird in der Regel so argumentiert: Der Wert kann nicht negativ
> sein oder soll nicht vom Vorzeichen abhängen, daher /quadrieren/ wir.
>
> Mir fällt dabei aber nun auf, daß man mit diesem Argument
> genauso gut die Betragsfunktion oder die vierte Potenz
> verwenden könnte. Warum erweist sich dann doch gerade das
> Quadrieren hier so oft als tatsächlich sinnvoll?

Die Betragsfunktion ist an der Stelle Null nicht differenzierbar.
Von den (geraden) Potenzfunktionen ist die Quadratfunktion die einfachste.

Gruß CN

ram@zedat.fu-berlin.de (Stefan Ram) schrieb oder zitierte:
>1. Methode der kleinsten Quadrate

Ja, es gibt tatsächlich auch eine Methode zur Bestimmung des
"Abstandes" zweier Funktionen, welche den Betrag verwendet.

Die beste Annäherung an Datenpunkte ist dann unter Umständen
nicht eindeutig bestimmt:

Quadratisch betrachtet wäre der Punkt, welcher 0 und 1
am nächsten kommt, der Punkt 0,5, da hier die Summe der
quadrierten Abstände nur (1/2)^2+(1/2)^2=1/2 beträgt.

Verwendet man jedoch den Betrag, ist jeder Punkt zwischen
0 und 1 gleich gut geeignet.

Diese Betragstechnik ist robuster gegenüber Ausreißern und
wird daher in einigen Gebieten angewendet, in denen dies
erwünscht ist, obwohl sie schwieriger zu anzuwenden ist.

Mehr über dieses Betragskritierium findet man auch unter der
Bezeichnung "Least absolute deviations".

Am 2024-05-29 um 09:32 schrieb Stefan Ram:
> Mehr über dieses Betragskritierium findet man auch unter der
> Bezeichnung "Least absolute deviations".
jup.
gibt sogar ne Programmier-Funktion: ABS().

Jens