Hallo,

hier ist eine mathematische Denksportaufgabe aus math.stackexchange.com,
die ich sehr spannend fand:

Bekanntlich hat P(N) (die Potenzmenge der Menge N der natürlichen Zahlen)
die Kardinalität des Kontinuums. Nun bildet die Inklusion auf P(N)
eine Halbordnung auf P(N) mit einem kleinsten ({}) und größten (N)
Element.

Eine Kette bzgl. dieser Ordnung ist eine Teilmenge K von P(N) mit
der Eigenschaft, dass je zwei Elemente A,B aus K vergleichbar sind
(d.h. eine der beiden Mengen A oder B ist Teilmenge der anderen).

Beispielsweise ist die Menge K = { {n: n ungerade}, {n: n prim}, N}
keine Kette, K = { {n: n ungerade}, {n: n>2 prim}, N} aber schon.
K = {N, {}, {1}, {1,2}, {1,2,3}, ...} ist eine Kette, die sogar
maximal ist in dem Sinne, dass man kein anderes Element aus
P(N) hinzufügen kann, ohne die Ketteneigenschaft zu zerstören.

Gibt es eine Kette (in P(N) bzgl. der Inklusionsordnung), die
die Kardinalität des Kontinuums hat?

Am 2024-05-19 um 10:36 schrieb Martin Vaeth:
> Beispielsweise ist die Menge K = { {n: n ungerade}, {n: n prim}, N}
> keine Kette, K = { {n: n ungerade}, {n: n>2 prim}, N} aber schon.
> K = {N, {}, {1}, {1,2}, {1,2,3}, ...} ist eine Kette, die sogar
> maximal ist in dem Sinne, dass man kein anderes Element aus
> P(N) hinzufügen kann, ohne die Ketteneigenschaft zu zerstören.
>
> Gibt es eine Kette (in P(N) bzgl. der Inklusionsordnung), die
> die Kardinalität des Kontinuums hat?

Wenn:
K = { {n: n ungerade} UND {n: n>2 prime} UND {n: n prim}, IN }.

Dann:
K => { {1: 1 ungerade} UND {3: 3 > 2 prime} UND {2: 2 prime}, n e IN }. [1]
K => {  1, 3, 2, n }.  <-- unsortiert
K => {  1, 2, 3, n }.  <-- totale Ordnung

Ansonsten:
K => { 2, 3, n: n e P(n)}.

0 und 1 fallen weg, da sie keine Primzahlen sind.
Die Kette würde irgendwann im Untergrund verschwinden, weil die Abstände der
einzelnen Ortungs-Punkte so groß sind, so dass, wenn man eine Leine spannen
würde, die Leine durchhängen wird.

Oder in Betrachtung des Kontinums, würde es aufwertige Sprünge geben, so
dass
eine Beugung entstehen wird, die verhindert, an den letzten (oder JETZT)
Punkt
zu gelangen, weil der Springer bereits seine Kraft verloren hat, und mit der
Verfügbaren Energie nicht über den letzten (JETZT) Punkt zu gelangen.

Im physischen wird es wohl darauf "auslaufen", das die Kette auf Grund
der immer
länger werdenden Verzehrung "dünner" wird und irgendwann wohl zerbarsten
wird,
und die Kette bricht.

Dann haben wir unterschiedliche Mengen im (dunklen) Raum, die versuchen, ihr
Anfang zu suchen - es aber nicht können, weil sie nicht Wissen, welcher
Schnurr-
schnörpsel denn zu welcher Menge gehört.

Sie sind dann also dem Untergang/dem Verhungern ausgesetzt.

Ein Lösungs-Vorschlag von mir wäre: Makierungspunkte zu setzen, was aber
ja nicht
funktionieren würde, weil mit jeder neuen Menge, die Mächtigkeit bei
"eins" (1)
anfangen würde, und wir dann eine (graue) Kette von einsen: 111... oder
die von
Neumann Indexierung: eine Kette (graue) von nullen und einsen haben:
00111001011...

Auch diese Kette würde irgendwann mal die Luft (oder Farbe) ausgehen,
und aus der
grauen Kette würde eine immer mehr dunkler werdene Kette werden, was
dadurch auch
beeinflusst wird, wie schnell sich die Objekte bewegen bzw. wie schnell
sie sich
in Bezug auf Größe ändern.

Und wenn man dann noch Potenzreihen betrachtet, dann steigt diese Größe
ins un-
ermessliche und würde somit "eine" Unendlichkeit ergeben, die dann
wieder mit 1
definiert wird.

Also befindet man sich am Anfang von der Reise, die wir gestartet haben.

Das ist vergleichbar wie zum Beispiel, das wir mit einen Raumfahrzeug
immer am Rand
des Universums vorbeifliegen, um zu testen, ob das Universum "nicht"
endlich ist.

Schlimmer noch:
- durch die Zeit Raum Dynamik würden wir unseren Anfang garnicht erst
wieder finden,
  obgleich wir auf diesen Punkt gerade sitzen, weil sich der Ort
geändert hat.
  Nicht nur das, wie wir es verlassen haben würde so existieren, wir
würden uns als
  Mensch nicht mehr daran erinnern und den Anfang als "neuen" Punkt
ansehen, an dem
  die Reise mit dem Raummobil weiter geht.
- dann haben wir uns mindestens "einmal" umrundet und kommen zu keinen
weiteren
  Ergebnis, als dem, das wir nur "einmal" vorkommen und die Zeit nutzen
sollten, die
  uns bleibt. (zum Beispiel: ins Kino gehen, eine abendliche Nummer
machen - denn man
  weiß ja nicht was im JETZT plus "eins" los ist - macht dann Peng oder
Schnapp, da
  waren wir dann da gewesen).
- von daher macht es keinen höherwertigen Sinn, sich den Kopf mit oder
im unendlichen
  zu zrbrechen, so wie Cantor es getan hat.
  Cantor war (ja ich plappere wieder nach), mehrmals in der
Irren-Anstalt, und wenn
  ich richtig gelesen habe, starb er sogar in seinen letzten Aufenthalt
in einer solchen.
  Da war dann auch aus die Maus - ist aber so - hmmm - schulterzucker -
dumm gugck...

Tjar, was soll man dazu noch sagen ?
Machts Euch gemütlich mit nen Bier, füße in den Pool, und Chillen ...

Euer Schreiberling
Jens

On 05/19/2024 10:36 AM, Martin Vaeth wrote:
> Hallo,
>
> hier ist eine mathematische Denksportaufgabe aus math.stackexchange.com,
> die ich sehr spannend fand:
>
> Bekanntlich hat P(N) (die Potenzmenge der Menge N der natürlichen Zahlen)
> die Kardinalität des Kontinuums. Nun bildet die Inklusion auf P(N)
> eine Halbordnung auf P(N) mit einem kleinsten ({}) und größten (N)
> Element.
>
> Eine Kette bzgl. dieser Ordnung ist eine Teilmenge K von P(N) mit
> der Eigenschaft, dass je zwei Elemente A,B aus K vergleichbar sind
> (d.h. eine der beiden Mengen A oder B ist Teilmenge der anderen).
>
> Beispielsweise ist die Menge K = { {n: n ungerade}, {n: n prim}, N}
> keine Kette, K = { {n: n ungerade}, {n: n>2 prim}, N} aber schon.
> K = {N, {}, {1}, {1,2}, {1,2,3}, ...} ist eine Kette, die sogar
> maximal ist in dem Sinne, dass man kein anderes Element aus
> P(N) hinzufügen kann, ohne die Ketteneigenschaft zu zerstören.
>
> Gibt es eine Kette (in P(N) bzgl. der Inklusionsordnung), die
> die Kardinalität des Kontinuums hat?
>

Hmm. Ich würde mal folgendes ins Auge fassen:
f:IQ->IN injektiv
K = {f(U) | U Untermenge eines Dedekindschen Schnitts}.

Am 19.05.2024 um 21:06 schrieb Ralf Bader:
> On 05/19/2024 10:36 AM, Martin Vaeth wrote:
>>
>> Eine Kette bzgl. dieser Ordnung ist eine Teilmenge K von P(N) mit
>> der Eigenschaft, dass je zwei Elemente A,B aus K vergleichbar sind
>> (d.h. eine der beiden Mengen A oder B ist Teilmenge der anderen).
>>
>
> Hmm. Ich würde mal folgendes ins Auge fassen:
> f:IQ->IN injektiv
> K = {f(U) | U Untermenge eines Dedekindschen Schnitts}.
>

Woraus folgt, dass f[U] Teilmenge von f[V] sein muss oder f[V] Teilmenge
von f[U], wenn U und V Untermengen verschiedener Dedekindscher Schnitte
sind?

Gruß,
RR

Rainer Rosenthal schrieb am 19.05.24 um 21:27:
> Am 19.05.2024 um 21:06 schrieb Ralf Bader:
>> On 05/19/2024 10:36 AM, Martin Vaeth wrote:
>>>
>>> Eine Kette bzgl. dieser Ordnung ist eine Teilmenge K von P(N) mit
>>> der Eigenschaft, dass je zwei Elemente A,B aus K vergleichbar sind
>>> (d.h. eine der beiden Mengen A oder B ist Teilmenge der anderen).
>>
>> Hmm. Ich würde mal folgendes ins Auge fassen:
>> f:IQ->IN injektiv
>> K = {f(U) | U Untermenge eines Dedekindschen Schnitts}.
>
> Woraus folgt, dass f[U] Teilmenge von f[V] sein muss oder f[V] Teilmenge
> von f[U], wenn U und V Untermengen verschiedener Dedekindscher Schnitte
> sind?

Man nimmt nur die linken oder nur die rechten Teilmengen.

Injektivität braucht man für U\neq V\impl f(U)\neq f(V).

Schwieriger ist es, zu zeigen, dass es auch so große Antiketten gibt.

Am 19.05.2024 um 23:51 schrieb Carlo XYZ:
>
> Man nimmt nur die linken oder nur die rechten Teilmengen.
>
> Injektivität braucht man für U\neq V\impl f(U)\neq f(V).
>

Ah, mir schwant, wie es funktionieren soll, danke.

> Schwieriger ist es, zu zeigen, dass es auch so große Antiketten gibt.

Hier habe ich wieder ein Fragezeichen: wie kommen hier "Antiketten"
herein? Ist das nur eina anderer Name für das, was ursprünglich "Kette"
genannt wurde?

Gruß,
Rainer

Am 20.05.2024 um 00:05 schrieb Rainer Rosenthal:
> Am 19.05.2024 um 23:51 schrieb Carlo XYZ:
>>
>> Man nimmt nur die linken oder nur die rechten Teilmengen.
>>
>> Injektivität braucht man für U\neq V\impl f(U)\neq f(V).
>>
>
> Ah, mir schwant, wie es funktionieren soll, danke.
>

Ich habe einen Einwand entdeckt:
wenn U aus Brüchen besteht, in deren gekürzter Form immer der Faktor 3
steckt, während das bei V niemals der Fall ist, dann ist weder U
Teilmenge von V noch V Teilmenge von U. U und V haben sogar leeren
Schnitt. Gleiches gilt für f[U] und f[V].

Gruß,
RR

Am 20.05.2024 um 08:27 schrieb Rainer Rosenthal:

> wenn U aus Brüchen besteht, in deren gekürzter Form immer der Faktor 3
> steckt, ...

Korrektur:
"in deren gekürzter Form immer der Faktor 3 /im Nenner/ steckt"

RR

Am 20.05.2024 um 08:27 schrieb Rainer Rosenthal:
> Am 20.05.2024 um 00:05 schrieb Rainer Rosenthal:
>> Am 19.05.2024 um 23:51 schrieb Carlo XYZ:
>>>
>>> Man nimmt nur die linken oder nur die rechten Teilmengen.
>>>
>>> Injektivität braucht man für U\neq V\impl f(U)\neq f(V).
>>>
>>
>> Ah, mir schwant, wie es funktionieren soll, danke.
>>
>
> Ich habe einen Einwand entdeckt:
> wenn U aus Brüchen besteht, in deren gekürzter Form immer der Faktor 3
> steckt, während das bei V niemals der Fall ist, dann ist weder U
> Teilmenge von V noch V Teilmenge von U. U und V haben sogar leeren
> Schnitt. Gleiches gilt für f[U] und f[V].

Solche U und V sind keine Untermengen Dedekindscher Schnitte.

Rainer Rosenthal schrieb am 20.05.24 um 00:05:

>> Schwieriger ist es, zu zeigen, dass es auch so große Antiketten gibt.
>
> Hier habe ich wieder ein Fragezeichen: wie kommen hier "Antiketten"
> herein? Ist das nur eina anderer Name für das, was ursprünglich "Kette"
> genannt wurde?

Das waren zwei Fragezeichen.

Frage 1: Möglicherweise aus rainer mathematischer Neugier?

Frage 2: Im Gegentum.

<https://de.wikipedia.org/wiki/Antikette>

Am 20.05.2024 um 08:59 schrieb Stefan Schmitz:
> Am 20.05.2024 um 08:27 schrieb Rainer Rosenthal:
>>
>> Ich habe einen Einwand entdeckt:
>> wenn U aus Brüchen besteht, in deren gekürzter Form immer der Faktor 3
>> steckt, ...
>
> Solche U und V sind keine Untermengen Dedekindscher Schnitte.
>

Danke, stimmt. Die sind ja zusammenhängend. Hatte das mit Approximation
verwechselt.
Morgenstund hat Zahnpasta im Mund (und nicht notwendig Gold).

Schön, dann darf ich weiter nachdenken.

Gruß,
RR

Am 20.05.2024 um 00:05 schrieb Rainer Rosenthal:
> Am 19.05.2024 um 23:51 schrieb Carlo XYZ:
>> Schwieriger ist es, zu zeigen, dass es auch so große Antiketten gibt.
>
> Hier habe ich wieder ein Fragezeichen: wie kommen hier "Antiketten"
> herein? Ist das nur eina anderer Name für das, was ursprünglich "Kette"
> genannt wurde?

Ich tippe auf etwas, wo kein Element Teilmenge eines anderen ist.

Wenn es das ist, habe ich auch einen Kandidaten:
Man ersetze die Untermengen Dedekindscher Schnitte durch deren
Schnittmengen mit der Menge ihrer um 1 subtrahierten Elemente.

Ralf Bader <bader@nefkom.net> schrieb:
> On 05/19/2024 10:36 AM, Martin Vaeth wrote:
>> Hallo,
>>
>> hier ist eine mathematische Denksportaufgabe aus math.stackexchange.com,
>> die ich sehr spannend fand:
>>
>> Bekanntlich hat P(N) (die Potenzmenge der Menge N der natürlichen Zahlen)
>> die Kardinalität des Kontinuums. Nun bildet die Inklusion auf P(N)
>> eine Halbordnung auf P(N) mit einem kleinsten ({}) und größten (N)
>> Element.
>>
>> Eine Kette bzgl. dieser Ordnung ist eine Teilmenge K von P(N) mit
>> der Eigenschaft, dass je zwei Elemente A,B aus K vergleichbar sind
>> (d.h. eine der beiden Mengen A oder B ist Teilmenge der anderen).
>>
>> Beispielsweise ist die Menge K = { {n: n ungerade}, {n: n prim}, N}
>> keine Kette, K = { {n: n ungerade}, {n: n>2 prim}, N} aber schon.
>> K = {N, {}, {1}, {1,2}, {1,2,3}, ...} ist eine Kette, die sogar
>> maximal ist in dem Sinne, dass man kein anderes Element aus
>> P(N) hinzufügen kann, ohne die Ketteneigenschaft zu zerstören.
>>
>> Gibt es eine Kette (in P(N) bzgl. der Inklusionsordnung), die
>> die Kardinalität des Kontinuums hat?
>>
>
> Hmm. Ich würde mal folgendes ins Auge fassen:
> f:IQ->IN injektiv
> K = {f(U) | U Untermenge eines Dedekindschen Schnitts}.

Ja, das war auch die Antwort auf stackexchange.com.
Auf den ersten Blick fand ich schon sehr verblüffend, dass es geht.

Obwohl diese Lösung sehr elegant ist, ist sie irgendwie unbefriedigend,
weil sie die natürliche Ordnung von N ignoriert.

Insbesondere ist die Lösung anscheinend nicht verallgemeinerbar:
Wenn man N durch eine beliebige Menge S ersetzt (von mir aus,
wohlgeordnet, wenn dies eine Antwort ohne zusätzliche Benutzung
des Auswahlaxioms erlaubt), enthält dann die Potenzmenge P(S)
bezüglich der Inklusionsrelation stets eine Kette der
Kardinalität P(S)?

Ich kenne die Antwort nicht. Wenn man versucht, die Lösung für
den Fall S=N zu verallgemeinern, muss man anscheinend erstmal
mit einer Bijektion S -> SxS starten oder zumindest einer
Injektion SxS -> S. (Die enthält man aus der Wohlordnung von S.)
Aber weiter? Gibt es ein Analogon zu Dedekindschen Schnitten auf
SxS für beliebige (wohlgeordnete) Mengen S?

Rainer Rosenthal <r.rosenthal@web.de> schrieb:
> Am 19.05.2024 um 23:51 schrieb Carlo XYZ:
>
>> Schwieriger ist es, zu zeigen, dass es auch so große Antiketten gibt.
>
> Hier habe ich wieder ein Fragezeichen: wie kommen hier "Antiketten"
> herein? Ist das nur eina anderer Name für das, was ursprünglich "Kette"
> genannt wurde?

Ich vermute, eine Menge M einer halbgeordneten Menge heißt Antikette,
wenn je zwei verschiedene Elemente von M *nicht* miteinander
vergleichbar sind.

Am 20.05.2024 um 09:18 schrieb Carlo XYZ:
> Rainer Rosenthal schrieb am 20.05.24 um 00:05:
>
>>> Schwieriger ist es, zu zeigen, dass es auch so große Antiketten gibt.
>>
>> Hier habe ich wieder ein Fragezeichen: wie kommen hier "Antiketten"
>> herein? Ist das nur eina anderer Name für das, was ursprünglich
>> "Kette" genannt wurde?
>
> Das waren zwei Fragezeichen.
>
> Frage 1: Möglicherweise aus rainer mathematischer Neugier?
>
> Frage 2: Im Gegentum.
>
> <https://de.wikipedia.org/wiki/Antikette>

Danke.

Gruß,
RR

Martin Vaeth schrieb am 20.05.24 um 09:33:

> Insbesondere ist die Lösung anscheinend nicht verallgemeinerbar:
> Wenn man N durch eine beliebige Menge S ersetzt (von mir aus,
> wohlgeordnet, wenn dies eine Antwort ohne zusätzliche Benutzung
> des Auswahlaxioms erlaubt), enthält dann die Potenzmenge P(S)
> bezüglich der Inklusionsrelation stets eine Kette der
> Kardinalität P(S)?

Tut's das hier?

<https://mathoverflow.net/questions/122031/totally-ordered-chain-in-the-powerset-with-big-cardinality>

Am 2024-05-20 um 09:39 schrieb Martin Vaeth:
> Ich vermute, eine Menge M einer halbgeordneten Menge heißt Antikette,

das hatte ich doch schon mal angetippselt - aber in einen anderen Beitrag.
dort ging es um 0 und 1 Faltung.

Finde aber jetzt auf die schnelle den Artikel nicht.

Jens

Carlo XYZ <carloxyz@invalid.invalid> schrieb:
> Martin Vaeth schrieb am 20.05.24 um 09:33:
>
>> Insbesondere ist die Lösung anscheinend nicht verallgemeinerbar:
>> Wenn man N durch eine beliebige Menge S ersetzt (von mir aus,
>> wohlgeordnet, wenn dies eine Antwort ohne zusätzliche Benutzung
>> des Auswahlaxioms erlaubt), enthält dann die Potenzmenge P(S)
>> bezüglich der Inklusionsrelation stets eine Kette der
>> Kardinalität P(S)?
>
> Tut's das hier?
>
><https://mathoverflow.net/questions/122031/
totally-ordered-chain-in-the-powerset-with-big-cardinality>

Super, vielen Dank!

Die Idee aus der (einzigen) Antwort, mit dem binären Baum zu
arbeiten, ist wesentlich befriedigener als der Ansatz mit
der Bijektion Q -> N und Dedekind-Schnitten, denn er macht
den Grund, weshalb es in P(N) eine Kette der Mächtigkeit
P(N) gibt, intuitiv sehr viel klarer. (Auch wenn es natürlich
aus abstrakter Sicht das selbe ist.)

Und nicht überraschend lässt sich diese Idee dann ja auch
leicht verallgemeinern, um eine sehr allgemeine Antwort auf
meine obige Frage zu geben, die (wie im zweiten Teil der
Antwort gezeigt) sogar erschöpfend ist.

Am 03.06.2024 um 19:08 schrieb Stephan Gerlach:

>
> Diesbezügliche Unklarheiten könnten daraus resultieren, daß die
> Formulierung evtl. mißverständlich sein könnte.
>

Die Formulierung war falsch und wurde längst korrigiert.

Gruß,
RR