Am 15.05.2024 um 14:05 schrieb Moebius:
> Am 15.05.2024 um 13:38 schrieb Dieter Heidorn:
>> Jens Kallup schrieb:
>>> Am 2024-05-14 um 22:35 schrieb Dieter Heidorn:
>
>>>>  wenn es möglich ist, dieselben gesetzmäßig in eine derartige Beziehung
>>>>  zueinander zu setzen, daß jedem Element der einen von ihnen ein und
>>>> nur
>>>>  ein Element der andern entspricht.
>>>
>>> und genau DAS ist nicht gegeben (also: <Unsinn gelöscht>)
>
> Doch, lieber Jens, das "ist [hier] gegeben".
>
> Zuletzt hatte ich dazu einen "zweischrittigen Ansatz" angegeben, um die
> Existenz so einer Abbildung zu beweisen.
>
> 1. Wir definieren eine Funktion f: INxIN --> IN durch f(m,n) = 2^m * 3^n
> für alle m,n e IN.
>
> Dann zeigen wir, dass f eine injektive Abbildung ist (leicht).
>
> Damit ist dann auch gezeigt, dass die Funktion g: INxIN --> {2^m * 3^n :
> n,m e IN}, die durch g(m,n) = 2^m * 3^n für alle m,n e IN definiert ist,
> eine Bijektion von INxIN auf {2^m * 3^n : n,m e IN} ist.
>
> [Anmerkung: Die Menge der Paare kann also schon durch eine echte
> Teilmenge von IN, nämlich {2^m * 3^n : n,m e IN} ""abgezählt"" werden.]
>
> 1a. Es gibt also eine bijektive Funktion h: {2^m * 3^n : n,m e IN} -->
> INxIN (nämlich die Umkehrfunktion von g).
>
> 2. Nun definieren wir rekursiv die Funktion a: IN --> {2^m * 3^n : n,m e
> IN}.
>
> | a_1 = 6
> | a_n+1 = min({2^m * 3^n : n,m e IN} \ U_(k=1..n) {a_n}) (n e IN\{1})

Das schreibt man dann aber doch besser so:

| a(1) = 6
| a(n+1) = min({2^m * 3^n : n,m e IN} \ U_(k=1..n) {a(n)}) (n e IN\{1})

:-P

Am 15.05.2024 um 14:05 schrieb Moebius:
> Am 15.05.2024 um 13:38 schrieb Dieter Heidorn:
>> Jens Kallup schrieb:
>>> Am 2024-05-14 um 22:35 schrieb Dieter Heidorn:
>
>>>>  wenn es möglich ist, dieselben gesetzmäßig in eine derartige Beziehung
>>>>  zueinander zu setzen, daß jedem Element der einen von ihnen ein und
>>>> nur
>>>>  ein Element der andern entspricht.
>>>
>>> und genau DAS ist nicht gegeben (also: <Unsinn gelöscht>)
>
> Doch, lieber Jens, das "ist [hier] gegeben".
>
> Zuletzt hatte ich dazu einen "zweischrittigen Ansatz" angegeben, um die
> Existenz so einer Abbildung zu beweisen.
>
> 1. Wir definieren eine Funktion f: INxIN --> IN durch f(m,n) = 2^m * 3^n
> für alle m,n e IN.
>
> Dann zeigen wir, dass f eine injektive Abbildung ist (leicht).
>
> Damit ist dann auch gezeigt, dass die Funktion g: INxIN --> {2^m * 3^n :
> n,m e IN}, die durch g(m,n) = 2^m * 3^n für alle m,n e IN definiert ist,
> eine Bijektion von INxIN auf {2^m * 3^n : n,m e IN} ist.
>
> [Anmerkung: Die Menge der Paare kann also schon durch eine echte
> Teilmenge von IN, nämlich {2^m * 3^n : n,m e IN} ""abgezählt"" werden.]
>
> 1a. Es gibt also eine bijektive Funktion h: {2^m * 3^n : n,m e IN} -->
> INxIN (nämlich die Umkehrfunktion von g).
>
> 2. Nun definieren wir rekursiv die Funktion a: IN --> {2^m * 3^n : n,m e
> IN}.
>
> | a_1 = 6
> | a_n+1 = min({2^m * 3^n : n,m e IN} \ U_(k=1..n) {a_n}) (n e IN)

Das schreibt man dann aber doch besser so:

| a(1) = 6
| a(n+1) = min({2^m * 3^n : n,m e IN} \ U_(k=1..n) {a(n)}) (n e IN)

😛

On 15.05.2024 13:38, Dieter Heidorn wrote:
> Jens Kallup schrieb:
>> Am 2024-05-14 um 22:35 schrieb Dieter Heidorn:
>>>  wenn es möglich ist, dieselben gesetzmäßig in eine derartige Beziehung
>>>  zueinander zu setzen, daß jedem Element der einen von ihnen ein und nur
>>>  ein Element der andern entspricht.
>>
>> und genau DAS ist nicht gegeben (also: jedes "einzelne" Element der
>> eine Menge, mit jedem
>> "anderenen" einzeln "gleichen").
>
> https://gutezitate.com/zitat/184970
>
Was soll das? Jens hat doch recht! Elemente mit weniger als ℵo
Nachfolgern kann Cantor nicht in eine Beziehung setzen. Das müsste er
aber, wenn er alle verarbeitet, ohne dass welche übrig bleiben.

Gruß, WM