Am 03.04.2024 um 18:24 schrieb Rainer Rosenthal:
> Wie wäre es zur Abwechslung mal mit etwas Mathematik?
> Um zwei Ordinalzahlen s und t zu multiplizieren, schreibt man t hin und
> ersetzt jedes Element von t durch eine andere Kopie von s. [7]
> Das Ergebnis ist eine wohlgeordnete Menge, die isomorph zu genau einer
> Ordinalzahl ist, die man mit st bezeichnet.[8] Auch diese Verknüpfung
> ist assoziativ und verallgemeinert die Multiplikation der natürlichen
> Zahlen.
> (https://de.wikipedia.org/wiki/Transfinite_Arithmetik)
>

Ich hatte darauf hingewiesen, dass die allgemein akzeptierte "Gleichung"

IN = omega

zu Fehlschlüssen führt, wenn man naiv mit ihr umgeht. Links steht
nämlich eine (geordnete) Menge und rechts ein Ordnungstyp.
Der Ordnungstyp ist die Klasse der zu IN ordnungsisomorphen Mengen, und
IN ist ein Repräsentant. Es gibt viele Repäsentanten, von der simplen
Menge der geraden natürlichen Zahlen mit der von IN geerbten Ordnung bis
hin zu interessanten transitiven Mengen.

Die provozierende (und falsche) 'Folgerung' IN * 2 = omega * 2 entfällt
bei korrekter Schreibweise:

Ordnungstyp(IN) = omega

Denn das ist eine echte Gleichung, und daher gilt
Ordnungstyp(IN) * 2 = omega * 2

Man darf aber nicht einfach Ordnungstyp(IN) * 2 = Ordnungstyp(IN*2)
annehmen, bloß weil es so hübsch aussieht. Es ist falsch.
Richtig ist aber 2 * Ordnungstyp(IN) = Ordnungstyp(2*IN)
und Ordnungstyp(2*IN) = Ordnungstyp(IN*2).

Da spielt Glauben keine Rolle, sondern es folgt aus der Definition der
Operationen.

Ich hole die Erörterung des Themas aus einem obskuren WM-Thread [1]
heraus und schlage vor, hier weiter darüber zu diskutieren.

Am 02.05.2024 um 01:58 schrieb Tom Bola:
>>
>> 2*IN = {2*n | n in IN} ist die Menge der geraden natürlichen Zahlen.
>> IN*2 = {n*2 | n in IN} ist ebenfalls die Menge der geraden natürlichen
>> Zahlen.
>
>> 2*ω ist die Menge {1,2} X {1,2,3,...} mit der Ordnung
>> (a,b) < (c,d) <==> (b < c oder (wenn b = c, dann a < c))
>> also lexikographische Ordnung nach der zweiten Komponente:
>> (1,1) < (2,1) < (1,2) < (2,2) < (1,3) < (2,3) ...
>>
>> ω*2 ist die Menge {1,2,3,...} X {1,2} mit der Ordnung
>> (a,b) < (c,d) <==> (b < c oder (wenn b = c, dann a < c))
>> also lexikographische Ordnung nach der zweiten Komponente:
>> (1,1) < (2,1) < (3,1) < ... < (1,2) < (2,2) < (3,2) ...
>
> Perfekt. Das Problem liegt also durchaus darin, dass man nicht
> weiss ob man AUCH mit IN kommutativ oder nicht kommunizieren kann!
>

Was genau meinst Du mit "das Problem"?
Mir ist nicht klar, was Du mit "kommunizieren" meinst.

Gruß,
RR

[1] Thread "Einführung in die Mückenmatik III (die größte natürliche Zahl)"

Am 02.05.2024 um 10:31 schrieb Rainer Rosenthal:

> Ich hatte darauf hingewiesen, dass [blubber]

Und ich weiße darauf hin, dass Du saudummen Scheißdreck daherredest.

Am 02.05.2024 um 10:31 schrieb Rainer Rosenthal:

> Ich hatte darauf hingewiesen, dass [blubber]

Und ich weise darauf hin, dass Du saudummen Scheißdreck daherredest.

Am 02.05.2024 10:31:44 Rainer Rosenthal schrieb:

> Am 03.04.2024 um 18:24 schrieb Rainer Rosenthal:
>> Wie wäre es zur Abwechslung mal mit etwas Mathematik?
>> Um zwei Ordinalzahlen s und t zu multiplizieren, schreibt man t hin und
>> ersetzt jedes Element von t durch eine andere Kopie von s. [7]
>> Das Ergebnis ist eine wohlgeordnete Menge, die isomorph zu genau einer
>> Ordinalzahl ist, die man mit st bezeichnet.[8] Auch diese Verknüpfung
>> ist assoziativ und verallgemeinert die Multiplikation der natürlichen
>> Zahlen.
>> (https://de.wikipedia.org/wiki/Transfinite_Arithmetik)
>>
>
> Ich hatte darauf hingewiesen, dass die allgemein akzeptierte "Gleichung"
>
> IN = omega
>
> zu Fehlschlüssen führt, wenn man naiv mit ihr umgeht. Links steht
> nämlich eine (geordnete) Menge und rechts ein Ordnungstyp.
> Der Ordnungstyp ist die Klasse der zu IN ordnungsisomorphen Mengen, und
> IN ist ein Repräsentant. Es gibt viele Repäsentanten, von der simplen
> Menge der geraden natürlichen Zahlen mit der von IN geerbten Ordnung bis
> hin zu interessanten transitiven Mengen.
>
> Die provozierende (und falsche) 'Folgerung' IN * 2 = omega * 2 entfällt
> bei korrekter Schreibweise:
>
> Ordnungstyp(IN) = omega
>
> Denn das ist eine echte Gleichung, und daher gilt
> Ordnungstyp(IN) * 2 = omega * 2
>
> Man darf aber nicht einfach Ordnungstyp(IN) * 2 = Ordnungstyp(IN*2)
> annehmen, bloß weil es so hübsch aussieht. Es ist falsch.
> Richtig ist aber 2 * Ordnungstyp(IN) = Ordnungstyp(2*IN)
> und Ordnungstyp(2*IN) = Ordnungstyp(IN*2).
>
> Da spielt Glauben keine Rolle, sondern es folgt aus der Definition der
> Operationen.
>
> Ich hole die Erörterung des Themas aus einem obskuren WM-Thread [1]
> heraus und schlage vor, hier weiter darüber zu diskutieren.
>
> Am 02.05.2024 um 01:58 schrieb Tom Bola:
> >>
> >> 2*IN = {2*n | n in IN} ist die Menge der geraden natürlichen Zahlen.
> >> IN*2 = {n*2 | n in IN} ist ebenfalls die Menge der geraden natürlichen
> >> Zahlen.
> >
> >> 2*ω ist die Menge {1,2} X {1,2,3,...} mit der Ordnung
> >> (a,b) < (c,d) <==> (b < c oder (wenn b = c, dann a < c))
> >> also lexikographische Ordnung nach der zweiten Komponente:
> >> (1,1) < (2,1) < (1,2) < (2,2) < (1,3) < (2,3) ...
> >>
> >> ω*2 ist die Menge {1,2,3,...} X {1,2} mit der Ordnung
> >> (a,b) < (c,d) <==> (b < c oder (wenn b = c, dann a < c))
> >> also lexikographische Ordnung nach der zweiten Komponente:
> >> (1,1) < (2,1) < (3,1) < ... < (1,2) < (2,2) < (3,2) ...
> >
> > Perfekt. Das Problem liegt also durchaus darin, dass man nicht
> > weiss ob man AUCH mit IN kommutativ oder nicht kommunizieren kann!
> >
>
> Was genau meinst Du mit "das Problem"?
> Mir ist nicht klar, was Du mit "kommunizieren" meinst.

Dummer Typo, weiter unten steht dann immer richtig 'multiplizieren'.

Übrigens könnte man auch prüfen, ob die Verwendung eines der beiden
Isomorphiezeichen *), also oben die Tilde '~' und darunter ein waagerechter
Strich '-' oder (besser) zwei davon das Zeichen der Wahl für "IN '=' w" ist.
*)
https://de.wikipedia.org/wiki/Liste_mathematischer_Symbole#Gruppentheorie

Am 02.05.2024 13:27:08 Tom Bola schrieb:
> Am 02.05.2024 10:31:44 Rainer Rosenthal schrieb:

> Übrigens könnte man auch prüfen, ob die Verwendung eines der beiden
> Isomorphiezeichen *), also oben die Tilde '~' und darunter ein waagerechter
> Strich '-' oder (besser) zwei davon das Zeichen der Wahl für "IN '=' w" ist.
> *)
> https://de.wikipedia.org/wiki/Liste_mathematischer_Symbole#Gruppentheorie

Und/oder ganz simpel wäre es, einfach "IN =: w" zu notieren und darunter
die unterschiedliche Multiplikationsweise der beiden r/l Mengen zu
erläutern, was in jedem Fall besser ist als einfach das Gleichheitszeichen
zu verwenden, ohne auf die Multiplikations-Komplikation einzugehen.

Am 02.05.2024 um 13:22 schrieb Moebius:
> Am 02.05.2024 um 10:31 schrieb Rainer Rosenthal:
>
> > Ich hatte darauf hingewiesen, dass [blubber]
>
> Und ich weise darauf hin, dass Du saudummen Scheißdreck daherredest.

Klar, weil Du alles durcheinander bringst.
Zuerst schneidest Du in Deiner "Antwort" meine Aussage weg. Ich hatte
nicht "blubber" geschrieben, sondern:

>
> ..., dass die allgemein akzeptierte "Gleichung" IN = omega
> zu Fehlschlüssen führt, wenn man naiv mit ihr umgeht.
> ...
> Ordnungstyp(IN) = omega ist eine echte Gleichung.
>

Und dann zeigst Du im Thread "Logiker können nicht logisch denken."
(02.05.2024 um 13:22), dass Du sie nicht verstanden hast:

>
> Rainer Rosenthal hat ja ebenfalls kürzlich entdeckt, dass (im Kontext
> der Mengenlehre) /=/ nicht immer eine "echte Gleichheit" bedeutet, ...
>
Nein, ich habe gesagt, dass "ω is just the set N of natural numbers"
nicht als echte Gleichung "ω = IN" interpretiert werden darf, weil dann
offen ist, ob 0 oder 1 die kleinste Zahl von ω ist.

Gerade weil /=/ immer eine "echte Gleichheit" bedeutet, ist "IN = ω"
falsch. Für IN_0 = {0,1,2,...} und IN_1 = {1,2,3,...} haben wir die
echten Gleichheiten: Ordnungstyp(IN_0) = ω und Ordnungstyp(IN_1) = ω.
Modulo Ordnungsisomorphie gilt IN_0 = IN_1 = ω.

Der Fachausdruck dafür lautet übrigens "Äquivalenz" und nicht "unechte
Gleichung". Glaube mir!

Gruß,
RR

Am 04.05.2024 23:57:14 Rainer Rosenthal schrieb:

> ... Der Fachausdruck dafür lautet übrigens "Äquivalenz" und nicht "unechte Gleichung".

Hier ist dazu noch etwas Interessantes:

https://math.stackexchange.com/questions/150575/what-is-the-difference-between-omega-and-mathbbn

Am 05.05.2024 um 20:56 schrieb Tom Bola:
> Am 04.05.2024 23:57:14 Rainer Rosenthal schrieb:
>
>> ... Der Fachausdruck dafür lautet übrigens "Äquivalenz" und nicht "unechte Gleichung".
>
> Hier ist dazu noch etwas Interessantes:
>
> https://math.stackexchange.com/questions/150575/what-is-the-difference-between-omega-and-mathbbn

Danke für den Lesetipp!

Gruß,
RR

# Behauptung von Moebius aka FF (02.05.2024, 13:22):
# "Rainer Rosenthal hat ja ebenfalls kürzlich entdeckt, dass (im Kontext
# der Mengenlehre) /=/ nicht immer eine "echte Gleichheit" bedeutet."

Richtigstellung:
Gerade weil /=/ immer eine "echte Gleichheit" bedeutet, ist "IN = ω"
falsch, weil dann offen ist, ob 0 oder 1 die kleinste Zahl von ω ist.

Das Argument wurde offenbar nicht verstanden, wie inzwischen an anderen
Stellen in dsm zu lesen war. Ich antworte darauf hier, weil es besser passt.

# Behauptung von Moebius aka FF (05.05.2024, 15:02 [1]):
# "da nun mal IN = {1, 2, 3, ...} ist (lt. Herrn Rosenthal)."

Richtigstellung:
Ich hatte oben geschrieben, dass es offen ist, ob IN mit 0 oder 1 beginnt.

Gruß,
RR

[1] Thread "Logiker können nicht logisch denken"