Am 01.05.2024 um 23:26 schrieb Tom Bola:
> Am 01.05.2024 13:11:02 Rainer Rosenthal schrieb:
>
>> Ich habe nicht behauptet, dass "IN = ω" falsch sei
>
>>>> ... warum dann nicht auch "2*IN = 2*ω" und "IN*2 = ω*2" der Fall ist
>
>> Zu meiner Frage kam sogar eine Antwort, obwohl ich ja extra Dich gefragt
>> hatte. Die Antwort lautete, dass der Operator '*' links und rechts vom
>> Gleichheitszeichen unterschiedliche Multiplikations-Operationen bezeichnet.
>
> Na dann erkläre gefälligst den Unterschied zwischen den Operatoren du Clown.
>
> Beginne einfach mit den unterschiedlichen Namen und der Definition der
> beiden Operatoren... oder halte die Fresse und verpiss dich mit deiner
> affigen WM-Statistik im Thread-Namen und such dir eine andere Lutschmanie.

2*IN = {2*n | n in IN} ist die Menge der geraden natürlichen Zahlen.
IN*2 = {n*2 | n in IN} ist ebenfalls die Menge der geraden natürlichen
Zahlen.

2*ω ist die Menge {1,2} X {1,2,3,...} mit der Ordnung
(a,b) < (c,d) <==> (b < c oder (wenn b = c, dann a < c))
also lexikographische Ordnung nach der zweiten Komponente:
(1,1) < (2,1) < (1,2) < (2,2) < (1,3) < (2,3) ...

ω*2 ist die Menge {1,2,3,...} X {1,2} mit der Ordnung
(a,b) < (c,d) <==> (b < c oder (wenn b = c, dann a < c))
also lexikographische Ordnung nach der zweiten Komponente:
(1,1) < (2,1) < (3,1) < ... < (1,2) < (2,2) < (3,2) ...

Nun dürfte klar geworden sein, dass es mit "glaub mir" und "Clown" usw.
nicht wirklich sinnvoll weitergeht. Nachdem FF aka Moebius sich ein
wenig aus dem Fenster gelehnt hat, soll er Dir hier weitere Auskunft
geben. Aber der schmollt ja schon wieder, weil ihm nicht "geglaubt"
wird. Der tiefere Grund für das Dilemma mit "IN = ω" ist, dass das eine
verkürzte Schreibweise dafür ist, dass IN den Ordnungstyp ω hat:
"Ordnungstyp(IN,<) = ω".
Das naive "Multiplizieren auf beiden Seiten" geht also schief, wenn man
die verkürzte Schreibweise wie eine echte Gleichung behandelt.
Wie schon gesagt, freut es mich, dass Du Dich mit "glaub mir" nicht
zufrieden gegeben hast.

Den Hinweis auf meinen Thread "Was omega * 2 und 2 * omega ist, kann man
nachlesen" wiederhole ich gerne.

Gruß,
RR

Am 02.05.2024 um 01:30 schrieb Rainer Rosenthal:

> Der tiefere Grund für das Dilemma mit "IN = ω" ist, dass <bla>

Nein, sorry, Du checkst es offenbar eben so wenig wie Tom Bola:

Im Kontext der axiomatischen Mengenlehre (sagen wir ZF(C)) *ist*
(üblicherweise) IN = ω. Punkt aus. Es gilt also insbesondere

Ax(x e IN <-> x e ω).

Ist das jetzt endlich mal angekommen?

VERDAMMTE SCHEISSE, LEST DOCH EINFACH MAL EIN EINFÜHRUNG IN DIE
AXIOMATISCHE MENGENLEHRE, IHR DEPPEN!!!

ODER glaubt jemand, d e r das getan hat. Ist das denn zuviel verlangt?

Im Zweifelsfall kannst Du auch RB fragen. :-)

<facepalm>

Am 02.05.2024 01:30:38 Rainer Rosenthal schrieb:
> Am 01.05.2024 um 23:26 schrieb Tom Bola:
>> Am 01.05.2024 13:11:02 Rainer Rosenthal schrieb:
>>
>>> Ich habe nicht behauptet, dass "IN = ω" falsch sei
>>
>>>>> ... warum dann nicht auch "2*IN = 2*ω" und "IN*2 = ω*2" der Fall ist
>>
>>> Zu meiner Frage kam sogar eine Antwort, obwohl ich ja extra Dich gefragt
>>> hatte. Die Antwort lautete, dass der Operator '*' links und rechts vom
>>> Gleichheitszeichen unterschiedliche Multiplikations-Operationen bezeichnet.
>>
>> Na dann erkläre gefälligst den Unterschied zwischen den Operatoren du Clown.
>>
>> Beginne einfach mit den unterschiedlichen Namen und der Definition der
>> beiden Operatoren... oder halte die Fresse und verpiss dich mit deiner
>> affigen WM-Statistik im Thread-Namen und such dir eine andere Lutschmanie.
>
> 2*IN = {2*n | n in IN} ist die Menge der geraden natürlichen Zahlen.
> IN*2 = {n*2 | n in IN} ist ebenfalls die Menge der geraden natürlichen
> Zahlen.

Das trifft zu.
> 2*ω ist die Menge {1,2} X {1,2,3,...} mit der Ordnung
> (a,b) < (c,d) <==> (b < c oder (wenn b = c, dann a < c))
> also lexikographische Ordnung nach der zweiten Komponente:
> (1,1) < (2,1) < (1,2) < (2,2) < (1,3) < (2,3) ...
>
> ω*2 ist die Menge {1,2,3,...} X {1,2} mit der Ordnung
> (a,b) < (c,d) <==> (b < c oder (wenn b = c, dann a < c))
> also lexikographische Ordnung nach der zweiten Komponente:
> (1,1) < (2,1) < (3,1) < ... < (1,2) < (2,2) < (3,2) ...

Perfekt. Das Problem liegt also durchaus darin, dass man nicht
weiss ob man AUCH mit IN kommutativ oder nicht kommunizieren kann!

> Der tiefere Grund für das Dilemma mit "IN = ω" ist, dass das eine
> verkürzte Schreibweise dafür ist, dass IN den Ordnungstyp ω hat:
> "Ordnungstyp(IN,<) = ω".

Gut aber das reicht noch nicht, weil die Transitivität bezüglich der
Untermengen noch fehlt.

> Das naive "Multiplizieren auf beiden Seiten" geht also schief, wenn man
> die verkürzte Schreibweise wie eine echte Gleichung behandelt.

Richtig.
Man weiss also nicht, ob man mit IN kommutativ multiplizieren kann.

Genauer.
Es gilt (generell und seit langem) IN = {0,1,2,3,...} wobei die Elemente
ungeordnet sind, was für viele Betrachtungen wie die von Peano, mit der
Nachfolgerfunktion grundlegend ist, genauso wie auch seit von-Neumann auch
gilt, dass IN = {{ },{{ }},{{ },{{ }}},...}, wobei dies isomorph (!) zur
kleinsten unendlichen Ordinalzahl (w) ist.

Folgerung.
Um mathematisch exakt zu notieren, muß man also sicherstellen, dass mit IN
nicht kommutativ multipliziert werden darf, während das bei w der Fall ist.

Die Lösung.
Um dies ausschließen zu können, empfiehlt sich in derartigen Fällen
nicht das Symbol Gleichheitszeichen, '=', zu verwenden, sondern das
IDENTITÄTSZEICHEN, was aus drei horizontalen, übereinanderliegenden
Strichen gebildet wird, siehe die Links unten.

Paul R. Halmos wollte verständlicher weise offenbar gern das "traditionelle"
Gleich-Symbol benutzen. Das ist sicherlich kein Drama, aber nicht perfekt!

Es sollte also besser und korrekt notiert werden: IN 'Identitätszeichen' w

Zum Identitätszeichen.
https://de.wikipedia.org/wiki/Gleichheitszeichen#Das_Gleichheitszeichen_und_seine_Abwandlungen

Zur Benutzung des Identitätszeichens.
https://de.wikipedia.org/wiki/Identitätsgleichung
Eine Identitätsgleichung, oft kurz Identität genannt, ist eine als
Gleichung geschriebene mathematische Aussage zur Gleichheit von Ausdrücken,
Formeln oder Funktionen auf gewissen Definitionsbereichen.

Alternativ gibt es noch die "Dreifachtilde" und das Zeichen/Symbol
"genau äquivalent". Diese sind leider nicht hier zu finden:
https://de.wikipedia.org/wiki/Liste_mathematischer_Symbole#Gleichheitszeichen

Man könnte also leicht auf das Zeichen '=' verzichten und stattdessen
das Drei-Striche-Identitätszeichen für die infragestehende Gleichung
verwenden und dabei immer festhalten,

dass mit IN nicht und mit w kommutativ multipliziert werden muß.

Oder?

Am 02.05.2024 01:39:17 Moebius schrieb:

> Am 02.05.2024 um 01:30 schrieb Rainer Rosenthal:
>
>> Der tiefere Grund für das Dilemma mit "IN = ω" ist, dass <bla>
>
> Nein, sorry, Du checkst es offenbar eben so wenig wie Tom Bola:
>
> Im Kontext der axiomatischen Mengenlehre (sagen wir ZF(C)) *ist*
> (üblicherweise) IN = ω. Punkt aus. Es gilt also insbesondere
>
> Ax(x e IN <-> x e ω).
>
> Ist das jetzt endlich mal angekommen?

Unsinn, weil nicht geordnet, nicht transitiv bezüglich Teilmengen und
daher nicht baugleich.
> VERDAMMTE SCHEISSE, LEST DOCH EINFACH MAL EIN EINFÜHRUNG IN DIE
> AXIOMATISCHE MENGENLEHRE, IHR DEPPEN!!!
>
> ODER glaubt jemand, d e r das getan hat. Ist das denn zuviel verlangt?
>
> Im Zweifelsfall kannst Du auch RB fragen. :-)
>
> <facepalm>

Ich habe keine Lust mehr mit dir Scheiss Person.

Am 02.05.2024 um 01:39 schrieb Moebius:
> Am 02.05.2024 um 01:30 schrieb Rainer Rosenthal:
>
>> Der tiefere Grund für das Dilemma mit "IN = ω" ist, dass <bla>
>
> Nein, sorry, Du checkst es offenbar eben so wenig wie Tom Bola:
>
> Im Kontext der axiomatischen Mengenlehre (sagen wir ZF(C)) *ist*
> (üblicherweise) IN = ω. Punkt aus. Es gilt also insbesondere
>
>       Ax(x e IN <-> x e ω).
>
> Ist das jetzt endlich mal angekommen?
>
> VERDAMMTE SCHEISSE, LEST DOCH EINFACH MAL EINE EINFÜHRUNG IN DIE
> AXIOMATISCHE MENGENLEHRE, IHR DEPPEN!!!
>
> ODER glaubt jemand, d e r das getan hat. Ist das denn zuviel verlangt?
>
> Im Zweifelsfall kannst Du auch RB fragen. :-)
>
> <facepalm>

Du kannst es aber auch hier nachlesen:

https://seop.illc.uva.nl/entries/set-theory/basic-set-theory.html#:~:text=The%20set%20of%20all%20finite%20ordinals%20is%20denoted%20by%20the,is%20called%20a%20limit%20ordinal.

"The set of all finite ordinals is denoted by the Greek letter omega
(ω). Thus, ω is just the set N of natural numbers.

ω is also an ordinal, the first infinite ordinal."

*sigh*

Am 02.05.2024 02:11:46 Moebius schrieb:

> Am 02.05.2024 um 01:39 schrieb Moebius:
>> Am 02.05.2024 um 01:30 schrieb Rainer Rosenthal:
>>
>>> Der tiefere Grund für das Dilemma mit "IN = ω" ist, dass <bla>
>>
>> Nein, sorry, Du checkst es offenbar eben so wenig wie Tom Bola:
>>
>> Im Kontext der axiomatischen Mengenlehre (sagen wir ZF(C)) *ist*
>> (üblicherweise) IN = ω. Punkt aus. Es gilt also insbesondere
>>
>>       Ax(x e IN <-> x e ω).
>>
>> Ist das jetzt endlich mal angekommen?
>>
>> VERDAMMTE SCHEISSE, LEST DOCH EINFACH MAL EINE EINFÜHRUNG IN DIE
>> AXIOMATISCHE MENGENLEHRE, IHR DEPPEN!!!

Das war später du Idiot.

>> ODER glaubt jemand, d e r das getan hat. Ist das denn zuviel verlangt?
>>
>> Im Zweifelsfall kannst Du auch RB fragen. :-)
>>
>> <facepalm>
>
> Du kannst es aber auch hier nachlesen:
>
> https://seop.illc.uva.nl/entries/set-theory/basic-set-theory.html#:~:text=The%20set%20of%20all%20finite%20ordinals%20is%20denoted%20by%20the,is%20called%20a%20limit%20ordinal.
>
> "The set of all finite ordinals

IN ist aber viel älter als die Ordinals.

> is denoted by the Greek letter omega
> (ω). Thus, ω is just the set N of natural numbers.
>
> ω is also an ordinal, the first infinite ordinal."
>
> *sigh*

Geh einfach verrecken, du Clown.

Am 02.05.2024 um 01:30 schrieb Rainer Rosenthal:

> Der tiefere Grund für das Dilemma mit "IN = ω" ist, <blubber>

Was genau verstehst Du an

"ω is just the set N of natural numbers"

nicht?

Source:
https://seop.illc.uva.nl/entries/set-theory/basic-set-theory.html#:~:text=The%20set%20of%20all%20finite%20ordinals%20is%20denoted%20by%20the,is%20called%20a%20limit%20ordinal

Am 02.05.2024 um 02:36 schrieb Moebius:
> Am 02.05.2024 um 01:30 schrieb Rainer Rosenthal:
>
>> Der tiefere Grund für das Dilemma mit "IN = ω" ist, <blubber>
>
> Was genau verstehst Du an
>
>     "ω is just the set N of natural numbers"
>
> nicht?
>
> Source:
> https://seop.illc.uva.nl/entries/set-theory/basic-set-theory.html#:~:text=The%20set%20of%20all%20finite%20ordinals%20is%20denoted%20by%20the,is%20called%20a%20limit%20ordinal

Es gibt Leute, die die 0 zu den natürlichen Zahlen rechnen.
Ist ω die Menge der natürlichen Zahlen mit 0 oder ohne 0?

Du verstehst: IN oder IN_0 sind genau wie 2*IN oder 17*IN lediglich
Repräsentanten des Ordnungstyps (auch 'Ordnungszahl' genannt) ω.

So viel Mathe kannst Du doch, dass Du 'Klassen' von 'Repräsentanten'
unterscheiden kannst.

Gruß,
RR

Am 02.05.2024 um 10:42 schrieb Rainer Rosenthal:
> Am 02.05.2024 um 02:36 schrieb Moebius:
>> Am 02.05.2024 um 01:30 schrieb Rainer Rosenthal:
>>
>>> Der tiefere Grund für das Dilemma mit "IN = ω" ist, <blubber>
>>
>> Was genau verstehst Du an
>>
>>      "ω is just the set N of natural numbers"
>>
>> nicht?
>>
>> Source:
>> https://seop.illc.uva.nl/entries/set-theory/basic-set-theory.html#:~:text=The%20set%20of%20all%20finite%20ordinals%20is%20denoted%20by%20the,is%20called%20a%20limit%20ordinal
Keine Antwort. Du hast wirklich von Deinem Meister gelernt.

Ich sehe, dass meine Frage, wer wohl dümmer ist, Du, Tom Bola oder WM,
berechtigt war. Ihr seid Euch in offenbar vielerlei Hinsicht ähnlich.

Wenn man selbst ein glasklares Zitat nicht mehr so verstehen will, wie
es dasteht, sondern in seinem Sinn verkehrt/verdreht bis es zur eigenen
(falschen) Anschauung passt..., dann erinnert das doch sehr an WMs
"Cantorrezeption".

Da Du obiges Aussage nicht verstehst, und zu ignorant bist, den
entsprechenden Abschnitt in dem verlinkten Text zu lesen, hier noch
etwas aus Halmos' "Naive Mengenlehre" (nicht dass ich erwarten würde
dass Du d a s verstehst):

"Als Beispiel einer Ordinalzahl, die keine natürliche Zahl ist, kennen
wir bereits die Menge ω aller natürlichen Zahlen."

So und nun wieder ab ins Killfile. Und tschüss!

Am 02.05.2024 um 10:42 schrieb Rainer Rosenthal:
> Am 02.05.2024 um 02:36 schrieb Moebius:
>> Am 02.05.2024 um 01:30 schrieb Rainer Rosenthal:
>>
>>> Der tiefere Grund für das Dilemma mit "IN = ω" ist, <blubber>
>>
>> Was genau verstehst Du an
>>
>> "ω is just the set N of natural numbers"
>>
>> nicht?
>>
>> Source:
>>
https://seop.illc.uva.nl/entries/set-theory/basic-set-theory.html#:~:text=The%20set%20of%20all%20finite%20ordinals%20is%20denoted%20by%20the,is%20called%20a%20limit%20ordinal

Keine Antwort. Du hast wirklich von Deinem Meister gelernt.

Ich sehe, dass meine Frage, wer wohl dümmer ist, Du, Tom Bola oder WM,
berechtigt war. Ihr seid Euch offenbar in vielerlei Hinsicht ähnlich.

Wenn man selbst ein glasklares Zitat nicht mehr so verstehen will, wie
es dasteht, sondern in seinem Sinn verkehrt/verdreht bis es zur eigenen
(falschen) Anschauung passt, dann erinnert das doch sehr an WMs
"Cantorrezeption".

Da Du obige Aussage nicht verstehst und zu ignorant bist, den
entsprechenden Abschnitt in dem verlinkten Text zu lesen, hier noch
etwas aus Halmos' "Naive Mengenlehre" (nicht, dass ich erwarten würde,
dass Du d a s verstehst):

"Als Beispiel einer Ordinalzahl, die keine natürliche Zahl ist, kennen
wir bereits die Menge ω aller natürlichen Zahlen."

So und nun wieder ab ins Killfile. Und tschüss!

Am 02.05.2024 um 13:25 schrieb Moebius:
> Am 02.05.2024 um 10:42 schrieb Rainer Rosenthal:
> > Am 02.05.2024 um 02:36 schrieb Moebius:
> >> Am 02.05.2024 um 01:30 schrieb Rainer Rosenthal:
> >>
> >>> Der tiefere Grund für das Dilemma mit "IN = ω" ist, <blubber>
> >>
> >> Was genau verstehst Du an
> >>
> >>      "ω is just the set N of natural numbers."
> >>
> >> nicht?

In Zeichen: ω = IN.

> >> Source:
> >>
> https://seop.illc.uva.nl/entries/set-theory/basic-set-theory.html#:~:text=The%20set%20of%20all%20finite%20ordinals%20is%20denoted%20by%20the,is%20called%20a%20limit%20ordinal
>
> Keine Antwort. Du hast wirklich von Deinem Meister gelernt.
>
> Ich sehe, dass meine Frage, wer wohl dümmer ist, Du, Tom Bola oder WM,
> berechtigt war. Ihr seid Euch offenbar in vielerlei Hinsicht ähnlich.
>
> Wenn man selbst ein glasklares Zitat nicht mehr so verstehen will, wie
> es dasteht, sondern in seinem Sinn verkehrt/verdreht bis es zur eigenen
> (falschen) Anschauung passt, dann erinnert das doch sehr an WMs
> "Cantorrezeption".
>
> Da Du obige Aussage nicht verstehst und zu ignorant bist, den
> entsprechenden Abschnitt in dem verlinkten Text zu lesen, hier noch
> etwas aus Halmos' "Naive Mengenlehre" (nicht, dass ich erwarten würde,
> dass Du d a s verstehst):
>
> "Als Beispiel einer Ordinalzahl, die keine natürliche Zahl ist, kennen
> wir bereits die Menge ω aller natürlichen Zahlen."
>
> So und nun wieder ab ins Killfile. Und tschüss!

Am 02.05.2024 um 02:36 schrieb Moebius:
> Am 02.05.2024 um 01:30 schrieb Rainer Rosenthal:
>
>> Der tiefere Grund für das Dilemma mit "IN = ω" ist, <blubber>
>
> Was genau verstehst Du an
>
>     "ω is just the set N of natural numbers"
>
> nicht?
>
> Source:
> https://seop.illc.uva.nl/entries/set-theory/basic-set-theory.html#:~:text=The%20set%20of%20all%20finite%20ordinals%20is%20denoted%20by%20the,is%20called%20a%20limit%20ordinal

Ich wiederhole gerne, was ich an "ω = IN" nicht verstanden habe.
Es wäre nett, meine Antwort nicht wieder wegzuschneiden.
Ich habe nicht verstanden, welche der beiden Gleichungen nun richtig ist:

ω = {1, 2, 3, ... }

oder

ω = {0, 1, 2, 3, ... }

Gruß,
RR